Sagitta di un arco circolare

La sagitta è la freccia di un arco circolare: la distanza in linea retta dal punto medio della corda all'arco, lungo la perpendicolare diretta verso il centro del cerchio. Architetti, falegnami, metalmeccanici, topografi e studenti spesso conoscono il raggio di progetto e l'angolo al centro di un'apertura, di un arco o di un raccordo, ma hanno bisogno di quell'altezza prima di tagliare il materiale, fissare un dima o verificare il franco sotto una volta. Questo calcolatore di sagitta di un arco circolare prende un raggio positivo e un angolo al centro in gradi o radianti, applica l'identità chiusa sagitta uguale al raggio per uno meno il coseno della metà dell'angolo, e restituisce l'altezza insieme alla lunghezza di corda corrispondente e alle conversioni di angolo. Un angolo nullo produce altezza zero; un semicerchio di centottanta gradi produce una sagitta uguale al raggio; un giro completo di trecentosessanta gradi collassa la corda in un punto e la sagitta al diametro.

Cosa significa la sagitta e come funziona la formula del semiangolo

Tracci una perpendicolare dal centro del cerchio alla corda che unisce i due estremi di un arco. Quella retta biseca l'angolo al centro in due semiangoli uguali e biseca la corda in due semicorde uguali. Nel triangolo rettangolo formato dal raggio, dalla semicorda e dalla retta dal centro alla corda, il cateto adiacente al semiangolo è il raggio per il coseno della metà dell'angolo al centro.

La distanza dal centro alla corda è quindi r cos(θ/2) quando θ è misurato in radianti. La sagitta — lo spazio rimanente dalla corda all'arco sul lato vicino del segmento — è il raggio meno quella distanza: sagitta uguale a r meno r cos(θ/2), che si fattorizza in modo pulito come r per uno meno il coseno di θ su due.

In modo equivalente, la semicorda è r sin(θ/2), quindi la corda completa è due r sin(θ/2); Lei può recuperare la stessa altezza da raggio e corda con la forma pitagorica degli strumenti di altezza del segmento, ma questa capacità parte dall'angolo così non deve misurare prima la corda. Quando l'angolo al centro è zero, il coseno di zero è uno e la sagitta è zero. Quando l'angolo è centottanta gradi, il semiangolo è novanta gradi, il coseno è zero e la sagitta uguaglia il raggio: un arco semicircolare.

Quando l'angolo si avvicina a trecentosessanta gradi, il semiangolo si avvicina a centottanta gradi, il coseno si avvicina a meno uno e la sagitta si avvicina al doppio del raggio mentre la corda si riduce verso un punto. Le unità sono omogenee: millimetri, pollici o metri funzionano purché raggio e sagitta e corda restituite condividano la stessa unità di lunghezza.

La risposta riporta sempre questa altezza geometrica per l'arco che sottende l'angolo al centro fornito; non passa all'altezza complementare del segmento maggiore a meno che Lei non invii deliberatamente l'angolo complementare.

Contratto di ingresso, forma della risposta e comportamento in errore

Il campo radius è un raggio di cerchio positivo entro i limiti pubblicati. In modalità gradi l'angolo deve essere tra zero e trecentosessanta inclusi; in modalità radianti deve essere tra zero e due pi inclusi, così che la richiesta descriva un arco circolare semplice e non più avvolgimenti. Tali fallimenti di validazione non vengono fatturati.

Esempio: raggio dieci e angolo novanta gradi producono sagitta circa due punto nove due otto nove perché la metà di novanta è quarantacinque e dieci volte uno meno il coseno di quarantacinque gradi è dieci volte uno meno la radice quadrata di due su due. Raggio cinque e angolo centottanta gradi producono sagitta cinque esattamente. Raggio uno e angolo pi radianti producono sagitta uno.

Dove un calcolatore di sagitta dall'angolo risulta utile

Le officine di metallo e di falegnameria usano un calcolatore di sagitta di arco circolare quando un raggio di progetto noto e un angolo al centro noto su un disegno devono produrre la freccia della curva per dime, sagome e margini di scorta CNC. I taccuini di ingegneria civile e architettura convertono angoli e raggi di progetto di archi in altezza di colmo affinché il franco sotto una volta o una curva stradale sia corretto prima del getto o del montaggio.

I progettisti ottici e meccanici dimensionano varchi di segmento circolare e cadute di bordo lenti da aperture angolari senza misurare prima una corda fisica su un prototipo. La trigonometria in aula e la preparazione agli esami di ammissione necessitano di un oracolo deterministico che restituisca la forma coseno del semiangolo e rifiuti angoli negativi impossibili o raggi nulli o negativi invece di valori NaN silenziosi che un correttore difettoso potrebbe trattare come successo. La validazione fallita non consuma saldo.

Tenga le richieste piccole, fissi la sagitta arrotondata nei test e otterrà altezze d'arco riproducibili per l'officina, plugin LMS e worker edge senza erigere un intero stack di algebra computazionale.