Approximation normale

Lorsqu’une expérience binomiale compte de nombreux essais indépendants, la probabilité exacte d’un nombre donné de succès devient coûteuse à écrire à la main et malcommode à chercher dans une table imprimée. Le contournement classique est l’approximation normale de la binomiale : on remplace X ~ Binomial(n, p) par une courbe normale qui partage la même moyenne np et la même variance np(1-p), puis on lit l’aire sous cette courbe. Ce calculateur prend un nombre d’essais entier positif, une probabilité de succès strictement entre zéro et un, et un nombre cible de succès ; il applique la correction de continuité de Yates qui transforme un décompte discret en un intervalle d’une demi-unité, et renvoie la probabilité approchée avec la moyenne, l’écart type et les deux scores z corrigés.

Comment se définit l’approximation normale de la binomiale

Une variable aléatoire binomiale X compte le nombre de succès dans n essais de Bernoulli indépendants qui ont chacun la même probabilité de succès p. Sa moyenne exacte vaut n fois p et sa variance exacte vaut n fois p fois un moins p. Le théorème de de Moivre–Laplace, cas particulier du théorème central limite, affirme qu’à mesure que n croît, le décompte standardisé (X moins la moyenne) divisé par l’écart type converge en loi vers une normale centrée réduite Z.

En pratique, on peut donc traiter X comme approximativement normale de moyenne mu égale à n p et d’écart type sigma égal à la racine de n p (1-p), puis convertir tout événement portant sur X en une aire sous cette cloche. Comme X est discrète et la normale continue, une probabilité ponctuelle brute P(X égale k) s’effondrerait en une ligne d’aire nulle.

La correction de continuité de Yates répare ce décalage en étalant l’entier k sur l’intervalle unité de k moins un demi à k plus un demi, de sorte que P(X égale k) se lit comme l’aire normale entre ces deux demi-entiers. Le même décalage d’une demi-unité transforme une queue gauche P(X au plus k) en l’aire à gauche de k plus un demi, et une queue droite P(X au moins k) en l’aire à droite de k moins un demi.

Le calculateur évalue ces aires avec la fonction de répartition normale standard Φ via l’identité de la fonction d’erreur Φ(z) égale à un demi fois un plus erf de z sur la racine de deux, avec l’approximation rationnelle d’Abramowitz et Stegun, de sorte que chaque appel est de l’arithmétique en virgule flottante pure.

Ce que vous envoyez, ce que vous recevez et quand la requête échoue

Un tail facultatif choisit l’événement : eq (la valeur par défaut) approxime P(X égale k), le approxime P(X au plus k), ge approxime P(X au moins k), lt approxime P(X strictement inférieure à k) et gt approxime P(X strictement supérieure à k). Si trials vaut zéro, est négatif ou n’est pas entier, le gestionnaire refuse la requête avec un message clair indiquant que trials doit être un entier positif, conformément à l’énoncé de cours selon lequel une expérience binomiale exige un nombre entier positif d’essais.

Si p vaut zéro ou un, la variance binomiale s’annule, le score z est indéfini et la requête échoue plutôt que de diviser par zéro. Si successes sort de zéro à n, la requête échoue parce que ce décompte ne peut pas se produire. Le résultat principal est probability sur l’intervalle unité plus percent à coller dans un rapport, et une courte chaîne formula réaffirme l’identité de Yates utilisée.

Le drapeau de règle empirique est seulement diagnostique : une valeur fausse ne refuse pas l’appel, car l’approximation reste définie et de nombreux exercices se placent volontairement près de la frontière.

Où ce calculateur rend service, et comment il est tarifé

Les équipes qualité et fiabilité utilisent le même raccourci lorsque n est assez grand pour qu’une somme binomiale exacte soit peu commode et qu’elles n’aient besoin que d’une probabilité de queue de planification pour des décomptes de défauts, des inspections passe-échec ou des plans d’échantillonnage go-no-go. Les analystes produit et croissance estiment des probabilités de décompte de conversions lorsqu’une campagne est modélisée comme n essais de Bernoulli indépendants avec un taux historique p et qu’ils veulent la chance d’atteindre ou de manquer une cible k.

Gardez les requêtes sous le plafond d’essais publié, figez la probabilité arrondie dans les tests, et vous obtenez une approximation normale reproductible sans déployer un progiciel statistique. Si vous avez ensuite besoin de la masse ou de la cumulée binomiale exacte, dirigez-vous vers le calculateur de probabilité binomiale exacte ; si vous avez déjà deux bornes z et voulez seulement l’aire entre elles, utilisez l’outil d’intervalle normal standard. Ce sont des intentions de recherche et des pages d’atterrissage distinctes, pas des surcharges de cette page d’approximation normale.