Loi uniforme
Indiquez les bornes d'une loi uniforme continue et obtenez ses valeurs essentielles : entre 0 et 10, la moyenne vaut 5, la densité 0,1 et la probabilité de ne pas dépasser 4 vaut 0,4. Ajoutez un second point pour un intervalle. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Inférieure
- 0
- Supérieure
- 10
- X
- 4
- Portée
- 10
- Moyenne
- 5
- Variance
- 8,3333333333
- Écart type
- 2,886751346
La loi uniforme continue est le modèle le plus simple qui place la même densité de probabilité sur chaque point d'un intervalle fermé. Si une variable aléatoire X suit Uniform(a, b), sa densité est la constante un sur (b moins a) entre la borne inférieure a et la borne supérieure b, sa moyenne est le milieu (a plus b) sur deux, et sa variance est (b moins a) au carré sur douze. Ce calculateur de loi uniforme accepte ces deux bornes, éventuellement un point d'évaluation x et un second point x2 pour un intervalle, ainsi qu'un sélecteur optionnel de statistique, puis renvoie les valeurs demandées : la densité et la probabilité cumulée, la moyenne, la variance et l'écart-type.
Ce qu'est une loi uniforme continue et quelles statistiques elle renvoie
Une variable aléatoire uniforme continue sur un intervalle fermé [a, b] est le modèle mathématique de « toute valeur de cette plage est également vraisemblable ». Il n'y a pas de centre privilégié à l'intérieur de l'intervalle : la densité est un rectangle plat de hauteur un sur (b moins a) et de largeur (b moins a), si bien que l'aire totale vaut exactement un. Ce rectangle constitue tout le modèle de probabilité.
La moyenne se situe au milieu (a plus b) sur deux parce que le rectangle est symétrique. La variance vaut (b moins a) au carré sur douze, et croît avec le carré de la largeur : doubler la longueur de l'intervalle quadruple la variance, comme on l'attend d'une dispersion purement géométrique. L'écart-type est la racine carrée positive de cette variance, égale à (b moins a) sur la racine carrée de douze.
La fonction de répartition est une rampe : elle vaut zéro à gauche de a, monte linéairement de zéro à un entre a et b, et reste à un à droite de b. La probabilité ponctuelle P(X égale x) est nulle pour chaque x, ce qui est la réponse continue correcte ; ce que les élèves veulent d'ordinaire, c'est la hauteur de densité, la cumulée P(X est au plus x), ou une probabilité d'intervalle P(u ≤ X ≤ v).
Il n'estime pas a et b à partir d'un échantillon, ne tire pas de nombres aléatoires et n'ajuste pas une uniforme discrète sur les entiers ; ce sont d'autres intentions de recherche. Ici le contrat est : étant donné les bornes inférieure et supérieure d'une uniforme continue, renvoyer les statistiques demandées — probabilité, moyenne et variance — avec des points d'évaluation optionnels lorsqu'une probabilité est demandée.
Où un calculateur de loi uniforme sert dans l'étude, la simulation et le code
Les élèves rencontrent la loi uniforme continue dès la première semaine d'un cours de probabilités : le temps d'attente également vraisemblable n'importe où dans une fenêtre de dix minutes, la roulette qui s'arrête n'importe où sur un intervalle unité, l'erreur d'arrondi traitée comme uniforme sur plus ou moins une demi-unité. Les manuels demandent la moyenne et la variance à partir de a et b, puis P(X ≤ x) ou P(c ≤ X ≤ d) en utilisant l'aire d'un rectangle plutôt qu'une table.
Les enseignants peuvent pré-générer des corrigés pour des bornes arbitraires sans se fier à des applications opaques qui arrondissent autrement le douze de la variance ou traitent une probabilité ponctuelle comme la densité. Les carnets de simulation et de Monte-Carlo utilisent Uniform(0, 1) comme source brute ensuite inversée par d'autres CDF ; vérifier que cette source a bien pour moyenne un demi et pour variance un douzième est un test de cohérence habituel avant une longue exécution.
Les équipes qualité et exploitation modélisent une bande de tolérance comme uniforme lorsqu'aucune valeur dans la spécification n'est privilégiée, puis lisent la chance qu'une lecture tombe dans une fenêtre client plus étroite. Les développeurs appellent le contrat depuis des scripts pour semer des vecteurs de test déterministes, illustrer des moments en forme fermée, ou satisfaire des énoncés de programmation qui exigent moyenne, variance et une valeur de CDF pour a, b et x donnés.
Associez-le à un outil d'intervalle normal centré réduit lorsque vous avez besoin d'une cloche plutôt que d'un rectangle, et à des calculateurs binomial ou de Poisson lorsque la variable est discrète plutôt que continue.
Cas d’usage
Devoirs et préparation d'examens
Consultez moyenne, variance, densité et valeurs CDF exactes de la loi uniforme pour des exercices avec a, b et x connus, y compris les probabilités d'intervalle P(c ≤ X ≤ d).
Bandes de tolérance et contrôles de simulation
Modélisez un intervalle de spécification comme uniforme continue et lisez la chance qu'une lecture tombe dans une fenêtre plus étroite, ou vérifiez qu'une source Uniform(0, 1) a pour moyenne 1/2 et pour variance 1/12.
Questions fréquentes
Combien coûte le calculateur de loi uniforme ?
Il est gratuit dans votre navigateur sur cette page.
Quelles formules sont utilisées pour la moyenne et la variance ?
Pour X ~ Uniform(a, b) la moyenne est (a + b) / 2 et la variance est (b − a)² / 12. La densité constante sur [a, b] est 1 / (b − a).
Que se passe-t-il si la borne inférieure n'est pas inférieure à la supérieure ?
Une densité uniforme continue vaut 1 / (b − a), ce qui est indéfini ou infini lorsque a n'est pas strictement inférieur à b.
Comment la probabilité est-elle calculée ?
Si vous n'envoyez que x, la probabilité est la CDF P(X ≤ x) : 0 à gauche de a, (x − a) / (b − a) sur [a, b], et 1 à droite de b. Si vous envoyez aussi x2, la probabilité est le recouvrement de [x, x2] avec [a, b] divisé par (b − a).
S'agit-il d'une uniforme discrète sur les entiers ?
Non. Cet outil est l'uniforme continue sur [a, b]. Il ne compte pas les points du réseau entier et ne renvoie pas 1 / (b − a + 1). Utilisez un outil d'uniforme discrète ou de plage entière lorsque c'est le modèle dont vous avez besoin.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/uniform-distribution \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"lower":0,"upper":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/uniform-distribution", {
method: "POST",
headers: {
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"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
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"upper": 10
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/uniform-distribution",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"lower": 0,
"upper": 10
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/uniform-distribution", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"lower":0,"upper":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"lower":0,"upper":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/uniform-distribution", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"lower": 0,
"upper": 10
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.uniform_distribution",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Les intervalles dégénérés sont rejetés : si la borne inférieure n'est pas strictement inférieure à la supérieure, la requête échoue avec invalid_input au lieu d'une densité infinie silencieuse. Les appels API réussis sont facturés à la base publiée de $0.002 par élément ; les échecs de validation ne sont pas facturés.
Ce qu'est une loi uniforme continue et quelles statistiques elle renvoie
Ce calculateur renvoie ces formes fermées plutôt que d'échantillonner des uniformes aléatoires, si bien que les mêmes bornes produisent toujours le même JSON.
Contrat d'entrée, formules, et calcul de la probabilité, de la moyenne et de la variance
La statistique par défaut est all, qui renvoie l'étendue b moins a, la moyenne, la variance, l'écart-type, la densité constante et — lorsque x est présent — la densité en x, la CDF, la fonction de survie et une probabilité. Si seul x est fourni, cette probabilité est la CDF P(X ≤ x). Si x et x2 sont fournis, c'est le recouvrement de [x, x2] avec [a, b] divisé par (b moins a), la probabilité exacte de l'intervalle ; les deux extrémités peuvent arriver dans n'importe quel ordre. Choisir statistic mean ne renvoie que la formule du milieu ; variance ne renvoie que (b moins a) au carré sur douze ; probability exige x (ou x et x2) et omet les champs de moments inutilisés. Envoyez un corps JSON avec deux nombres finis obligatoires : lower (alias a, min, minimum) pour l'extrémité gauche a, et upper (alias b, max, maximum) pour l'extrémité droite b. Envoyez éventuellement x (alias value, point) comme point d'évaluation, x2 (alias value2, x_upper) comme l'autre extrémité d'un intervalle, et statistic (alias stat, solve_for) parmi all, probability, mean ou variance. Les champs manquants, chaînes vides, booléens, objets, NaN et Infinity échouent avec invalid_input en nommant le champ. Si lower n'est pas strictement inférieur à upper — y compris le cas de bornes égales qui rendrait la densité infinie — le moteur refuse la requête avec un message indiquant que la borne inférieure n'est pas inférieure à la supérieure. Ces échecs ne sont pas facturés. Les nombres peuvent arriver comme nombres JSON ou comme chaînes décimales ordinaires, y compris la notation scientifique. Associez l'exécution gratuite dans le navigateur sur cette page à l'API tarifée lorsque vous avez besoin du même résultat mathématique dans un pipeline automatisé, sans réimplémenter vous-même le douze de la formule de variance.
Où un calculateur de loi uniforme sert dans l'étude, la simulation et le code
Sur cette page le travail s'exécute entièrement dans votre navigateur ; via l'API chaque consultation réussie coûte $0.002, une validation échouée n'est pas facturée, et rien n'est conservé après le renvoi de la réponse. Cette séparation — exploration interactive gratuite et API tarifée identique — correspond au reste du catalogue de niveau A et vous permet de passer d'une démonstration en classe à un pipeline automatisé sans changer le résultat mathématique.
Cas d'intégration
Fixtures de test déterministes
Générez des champs reproductibles de moyenne, variance, densité et probabilité pour des tests unitaires et des assertions de CI sans arithmétique (b−a)²/12 faite à la main.