Théorème de Tchebychev
Au moins 75 % de toute série de données à variance finie se trouve à moins de 2 écarts types de sa moyenne, en cloche ou non. Indiquez le nombre d'écarts types voulu pour obtenir la part garantie à l'intérieur et le maximum possible à l'extérieur. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- K
- 2
- Proportion
- 0,75
- Pourcentage
- 75
- Proportion extérieure
- 0,25
Le théorème de Tchebychev, aussi appelé inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donne une borne inférieure sans hypothèse de loi sur la part d'un ensemble qui doit rester près de la moyenne. Pour toute collection de réels à moyenne finie et écart-type fini et positif, au moins un moins un sur k au carré des observations tombent à moins de k écarts-types de la moyenne, dès que k est strictement plus grand que un. Contrairement à la règle empirique, qui suppose une cloche à peu près normale, la borne de Tchebychev vaut pour toute loi qui a une variance, y compris les échantillons biaisés, multimodaux et à queues lourdes.
Ce que dit le théorème de Tchebychev et comment la borne se calcule
Le théorème de Tchebychev est une garantie sans hypothèse de loi sur le degré de resserrement d'une collection de nombres autour de sa moyenne. Écrivez mu pour la moyenne et sigma pour un écart-type fini et positif. Pour tout k réel strictement plus grand que un, le théorème affirme que la proportion d'observations tombant dans l'intervalle fermé de mu moins k sigma à mu plus k sigma vaut au moins un moins un sur k au carré.
De façon équivalente, la proportion qui peut se situer à k écarts-types ou plus de la moyenne vaut au plus un sur k au carré. La preuve est une conséquence d'une ligne de l'inégalité de Markov appliquée à l'écart au carré de X par rapport à mu, si bien que le résultat n'exige jamais la normalité, la symétrie ni l'unimodalité. C'est pourquoi une feuille d'exercices peut appliquer la même borne à des notes d'examen, des temps d'attente ou des mesures d'usine sans tester d'abord une cloche.
Les valeurs classiques de cours sont immédiates : k égal à deux donne au moins les trois quarts des données à moins de deux écarts-types de la moyenne ; k égal à trois donne au moins huit neuvièmes, un peu plus de quatre-vingt-huit virgule huit pour cent. Quand k s'approche de un par le haut, la borne s'effondre vers zéro et cesse d'informer, raison pour laquelle ce calculateur refuse k inférieur ou égal à un plutôt que de renvoyer une proportion non positive.
La formule est fermée et déterministe : pas de table à consulter, pas de graine aléatoire, pas de dépendance à l'échantillon d'origine une fois k connu.
Où un calculateur de Tchebychev gagne sa place, et ce qu'il ne fera pas
Les équipes de maîtrise de la qualité utilisent la borne lorsqu'un processus a une moyenne et une variance connues sans être connu comme normal, afin de pouvoir encore affirmer une part conservatrice de la sortie dans une fenêtre à k sigma. Les carnets de risque et d'assurance appliquent la même inégalité à des lois de perte biaisées ou à queues lourdes, là où la règle empirique soixante-huit quatre-vingt-quinze quatre-vingt-dix-neuf virgule sept promettrait trop.
Si plus tard vous avez besoin de la règle empirique sous hypothèse normale, d'un score z pour une valeur brute ou d'un résumé en cinq nombres d'une colonne, traitez-les comme des intentions de recherche et des pages distinctes plutôt que de surcharger cette page Tchebychev. Les limites sont voulues : le calculateur n'ajuste pas une densité, ne renvoie pas une valeur p et ne resserre pas la borne avec des hypothèses de forme supplémentaires.
Utilisez-le lorsque la réponse honnête est la garantie la plus faible qui tienne encore pour toute loi dotée d'une variance.
Cas d’usage
Exercices scolaires de Tchebychev
Laissez les élèves envoyer k et vérifier le pourcentage minimal garanti à moins de k écarts-types de la moyenne face aux tables du manuel.
Fenêtres de processus conservatrices
Affirmez une part de sortie sans hypothèse de loi dans une bande à k sigma lorsqu'un processus a une moyenne et une variance sans être connu comme normal.
Bornes de risque à queues lourdes
Appliquez Tchebychev à des pertes ou des temps d'attente biaisés, là où la règle empirique surestimerait la masse près de la moyenne.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le théorème de Tchebychev ?
Pour tout ensemble à moyenne finie et écart-type fini et positif, au moins 1 − 1/k² des valeurs se situent à moins de k écarts-types de la moyenne dès que k > 1. La borne n'assume pas une cloche normale.
Pourquoi k doit-il être plus grand que un ?
Lorsque k vaut un ou moins, 1 − 1/k² est nul ou négatif, si bien que l'inégalité ne dit rien d'utile.
En quoi cela diffère-t-il de la règle empirique ?
La règle empirique 68–95–99.7 suppose une loi à peu près normale. La borne de Tchebychev est plus faible, mais elle vaut pour toute loi qui a une variance, y compris les échantillons biaisés et à queues lourdes.
Que renvoie le calculateur ?
Il renvoie k, la proportion minimale 1 − 1/k², cette proportion en pour cent, le plafond complémentaire extérieur 1/k² et la chaîne de formule. Il n'estime ni moyenne ni sigma à partir d'une liste brute.
Combien coûte le calculateur du théorème de Tchebychev ?
L'outil du navigateur est gratuit et s'exécute en local.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"k":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", {
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
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}Exemple de réponse
{
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"type": "stat.chebyshevs_theorem",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce calculateur accepte un seul k, applique la formule fermée et renvoie la proportion minimale garantie sous forme de JSON structuré. Les requêtes avec k inférieur ou égal à un échouent avec invalid_input, car l'énoncé classique est vide sur ce bord.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et comportement d'erreur
La restriction définissante du théorème est codée comme un contrôle dur : k doit être strictement plus grand que un. Envoyer un, une fraction comme un demi, zéro ou un décompte négatif échoue avec un message indiquant que k doit être plus grand que un, et ces échecs ne sont pas facturés. Exemple : k égal à trois donne proportion huit neuvièmes. Le point d'entrée n'ingère pas une liste brute et n'estime ni mu ni sigma ; ce sont des intentions de recherche distinctes servies par des capacités sœurs de statistique. Envoyez un corps JSON avec un unique nombre fini obligatoire k, le nombre d'écarts-types par rapport à la moyenne. Le champ accepte aussi les alias k_sigma, deviations et std_devs, de sorte que le vocabulaire de cours et celui d'API fonctionnent tous deux. Chaque valeur peut arriver comme nombre JSON ou comme chaîne numérique ; les champs manquants, les chaînes vides, NaN et Infinity échouent avec invalid_input en nommant k. En cas de succès, le corps répète le k nettoyé, renvoie proportion comme un moins un sur k au carré, renvoie percent comme cent fois cette proportion, renvoie outside_proportion comme le plafond complémentaire de Tchebychev un sur k au carré, et reformule la chaîne de formule pour qu'une feuille montre le calcul à côté du nombre. Exemple : k égal à deux donne proportion zéro virgule soixante-quinze, percent soixante-quinze et outside_proportion zéro virgule vingt-cinq. Branchez le formulaire gratuit du navigateur pour une seule vérification de devoir, puis appelez le contrat identique depuis des scripts lorsque vous avez besoin de nombreux k sous une même forme JSON stable.
Où un calculateur de Tchebychev gagne sa place, et ce qu'il ne fera pas
Les cours de statistique du lycée et de l'université assignent sans relâche des exercices de Tchebychev qui demandent le pourcentage minimal de données à moins de deux, deux et demi ou trois écarts-types de la moyenne ; un oracle de confiance unique qui renvoie du JSON propre accélère la notation et la préparation de démonstrations sans querelle d'arrondi. Comme cette capacité est un moteur parse pur, le tarif d'API est la base publiée de $0.002 par élément réussi et une validation en échec ne consomme pas le solde.