Teorema de Chebyshev
Al menos el 75 % de cualquier conjunto de datos con varianza finita queda a menos de 2 desviaciones típicas de su media, tenga o no forma de campana. Indique cuántas desviaciones le interesan y verá la parte garantizada dentro y el máximo que queda fuera. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- K
- 2
- Proporción
- 0,75
- Porcentaje
- 75
- Proporción exterior
- 0,25
El teorema de Chebyshev, también llamado desigualdad de Bienaymé-Chebyshev, ofrece una cota inferior libre de distribución sobre cuánto de un conjunto debe quedar cerca de la media. Para cualquier colección de valores reales con media finita y desviación estándar finita y positiva, al menos uno menos uno sobre k al cuadrado de las observaciones cae dentro de k desviaciones estándar de la media, siempre que k sea estrictamente mayor que uno. A diferencia de la regla empírica, que supone una campana aproximadamente normal, la cota de Chebyshev vale para toda distribución con varianza, incluidas muestras sesgadas, multimodales y de colas pesadas.
Qué afirma el teorema de Chebyshev y cómo se calcula la cota
El teorema de Chebyshev es una garantía libre de distribución sobre lo apretado que un conjunto de números debe agruparse en torno a su media. Escriba mu para la media y sigma para una desviación estándar finita y positiva. Para todo k real estrictamente mayor que uno, el teorema afirma que la proporción de observaciones que caen en el intervalo cerrado desde mu menos k sigma hasta mu más k sigma es al menos uno menos uno sobre k al cuadrado.
De modo equivalente, la proporción que puede situarse a k o más desviaciones estándar de la media es a lo sumo uno sobre k al cuadrado. La demostración es una consecuencia de una línea de la desigualdad de Markov aplicada a la desviación al cuadrado de X respecto de mu, de modo que el resultado nunca exige normalidad, simetría ni unimodalidad. Por eso una ficha de deberes puede aplicar la misma cota a notas de examen, tiempos de espera o mediciones de fábrica sin comprobar primero una campana.
Los valores clásicos de aula son inmediatos: k igual a dos produce al menos tres cuartos de los datos dentro de dos desviaciones estándar de la media; k igual a tres produce al menos ocho novenos, un poco más del ochenta y ocho coma ocho por ciento. Cuando k se acerca a uno por encima, la cota se derrumba hacia cero y deja de informar, razón por la que esta calculadora rechaza k menor o igual que uno en lugar de devolver una proporción no positiva.
La fórmula es cerrada y determinista: no hay consulta de tabla, ni semilla aleatoria, ni dependencia de la muestra original una vez conocido k.
Dónde conviene una calculadora de Chebyshev y qué no hará
Los equipos de control de calidad usan la cota cuando un proceso tiene media y varianza conocidas pero no se sabe normal, de modo que aún pueden afirmar una cuota conservadora de salida dentro de una ventana de k sigma. Los cuadernos de riesgo y seguros aplican la misma desigualdad a distribuciones de pérdida sesgadas o de colas pesadas, donde la regla empírica sesenta y ocho noventa y cinco noventa y nueve coma siete prometiría de más.
Si más adelante necesita la regla empírica bajo un supuesto normal, una puntuación z de un valor bruto o un resumen de cinco números de una columna, trátelos como intenciones de búsqueda y aterrizajes distintos en lugar de sobrecargar esta página de Chebyshev. Los límites son deliberados: la calculadora no ajusta una densidad, no devuelve un valor p y no aprieta la cota con supuestos extra de forma. Úsela cuando la respuesta honesta sea la garantía más débil que aún vale para toda distribución con varianza.
Qué puede hacer con ella
Ejercicios escolares de Chebyshev
Deje que el alumnado envíe k y compruebe el porcentaje mínimo garantizado dentro de k desviaciones estándar de la media frente a las tablas del manual.
Ventanas conservadoras de proceso
Afirme una cuota de salida libre de distribución dentro de una banda de k sigma cuando el proceso tiene media y varianza pero no se sabe normal.
Cotas de riesgo de colas pesadas
Aplique Chebyshev a pérdidas o tiempos de espera sesgados, donde la regla empírica sobrestimaría cuánta masa queda cerca de la media.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el teorema de Chebyshev?
Para cualquier conjunto con media finita y desviación estándar finita y positiva, al menos 1 − 1/k² de los valores quedan dentro de k desviaciones estándar de la media cuando k > 1. La cota no supone una campana normal.
¿Por qué k debe ser mayor que uno?
Cuando k vale uno o menos, 1 − 1/k² es cero o negativo, de modo que la desigualdad no dice nada útil.
¿En qué se diferencia de la regla empírica?
La regla empírica 68–95–99.7 supone una distribución aproximadamente normal. La cota de Chebyshev es más débil, pero vale para toda distribución que tenga varianza, incluidas muestras sesgadas y de colas pesadas.
¿Qué devuelve la calculadora?
Devuelve k, la proporción mínima 1 − 1/k², esa proporción en tanto por ciento, el techo complementario exterior 1/k² y la cadena de fórmula. No estima media ni sigma a partir de una lista bruta.
¿Cuánto cuesta la calculadora del teorema de Chebyshev?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"k":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"k": 2
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"k":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"k": 2
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.chebyshevs_theorem",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Esta calculadora acepta un solo k, aplica la fórmula cerrada y devuelve la proporción mínima garantizada como JSON estructurado. Las peticiones con k menor o igual que uno fallan con invalid_input, porque el enunciado clásico es vacuo en ese borde.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
La restricción definitoria del teorema se codifica como comprobación dura: k debe ser estrictamente mayor que uno. Enviar uno, una fracción como un medio, cero o un recuento negativo falla con un mensaje de que k debe ser mayor que uno, y esos fallos no se facturan. Ejemplo: k igual a tres produce proportion ocho novenos. Envíe un cuerpo JSON con un único número finito obligatorio k, el número de desviaciones estándar respecto de la media. El campo también acepta los alias k_sigma, deviations y std_devs, de modo que el lenguaje de aula y el de API funcionan ambos. Cada valor puede llegar como número JSON o como cadena numérica; los campos ausentes, las cadenas vacías, NaN e Infinity fallan con invalid_input nombrando k. Si todo es válido, el cuerpo repite el k limpio, devuelve proportion como uno menos uno sobre k al cuadrado, devuelve percent como cien veces esa proporción, devuelve outside_proportion como el techo complementario de Chebyshev uno sobre k al cuadrado, y reescribe la cadena de fórmula para que una ficha muestre la cuenta junto al número. Ejemplo: k igual a dos produce proportion cero coma setenta y cinco, percent setenta y cinco y outside_proportion cero coma veinticinco. El endpoint no ingiere una lista bruta ni estima mu o sigma; esas son intenciones de búsqueda distintas que cubren capacidades hermanas de estadística. Conecte el formulario gratuito del navegador para una sola comprobación de deberes y luego llame al contrato idéntico desde scripts cuando necesite muchos valores de k bajo una misma forma JSON estable.
Dónde conviene una calculadora de Chebyshev y qué no hará
Los cursos de estadística de secundaria y universidad asignan sin cesar ejercicios de Chebyshev que piden el porcentaje mínimo de datos dentro de dos, dos y medio o tres desviaciones estándar de la media; un solo oráculo de confianza que devuelve JSON limpio acelera la calificación y la preparación de demostraciones sin discutir el redondeo. Como esta capacidad es un motor parse puro, el precio de la API es la base publicada de $0.002 por ítem exitoso y la validación fallida no consume saldo.