Teorema di Chebyshev

Il teorema di Chebyshev, detto anche disuguaglianza di Bienaymé-Chebyshev, fornisce un limite inferiore libero da ipotesi di legge su quanto di un insieme debba restare vicino alla media. Per qualsiasi collezione di valori reali con media finita e scarto quadratico medio finito e positivo, almeno uno meno uno su k al quadrato delle osservazioni cade entro k scarti quadratici medi dalla media, ogni volta che k è strettamente maggiore di uno. A differenza della regola empirica, che assume una campana approssimativamente normale, il limite di Chebyshev vale per ogni distribuzione che abbia varianza, compresi campioni distorti, multimodali e a code pesanti.

Che cosa afferma il teorema di Chebyshev e come si calcola il limite

Il teorema di Chebyshev è una garanzia libera da ipotesi di legge su quanto strettamente una collezione di numeri debba addensarsi intorno alla propria media. Scriva mu per la media e sigma per uno scarto quadratico medio finito e positivo. Per ogni k reale strettamente maggiore di uno, il teorema afferma che la proporzione di osservazioni che cadono nell'intervallo chiuso da mu meno k sigma a mu più k sigma è almeno uno meno uno su k al quadrato.

In modo equivalente, la proporzione che può trovarsi a k o più scarti quadratici medi dalla media è al più uno su k al quadrato. La dimostrazione è una conseguenza di una riga della disuguaglianza di Markov applicata allo scarto al quadrato di X rispetto a mu, così il risultato non esige mai normalità, simmetria né unimodalità. Ecco perché una scheda di compiti può applicare lo stesso limite a voti d'esame, tempi di attesa o misure di fabbrica senza verificare prima una campana.

I valori classici di aula sono immediati: k uguale a due produce almeno tre quarti dei dati entro due scarti quadratici medi dalla media; k uguale a tre produce almeno otto noni, poco più dell'ottantotto virgola otto per cento. Quando k si avvicina a uno dall'alto il limite crolla verso zero e smette di informare, ragione per cui questo calcolatore rifiuta k minore o uguale a uno anziché restituire una proporzione non positiva.

La formula è chiusa e deterministica: non c'è consultazione di tavola, né seme casuale, né dipendenza dal campione originale una volta noto k.

Dove un calcolatore di Chebyshev merita il posto e che cosa non farà

I gruppi di controllo qualità usano il limite quando un processo ha media e varianza note ma non è noto come normale, così possono ancora affermare una quota conservativa dell'uscita dentro una finestra a k sigma. I taccuini di rischio e assicurazione applicano la stessa disuguaglianza a distribuzioni di perdita distorte o a code pesanti, dove la regola empirica sessantotto novantacinque novantanove virgola sette prometterebbe troppo.

Se in seguito Le serve la regola empirica sotto ipotesi normale, un punteggio z di un valore grezzo o un riassunto a cinque numeri di una colonna, li tratti come intenzioni di ricerca e pagine distinte anziché sovraccaricare questa pagina di Chebyshev. I limiti sono intenzionali: il calcolatore non adatta una densità, non restituisce un valore p e non stringe il limite con ipotesi extra di forma. Lo usi quando la risposta onesta è la garanzia più debole che valga ancora per ogni distribuzione con varianza.