Approssimazione normale

Quando un esperimento binomiale ha molte prove indipendenti, la probabilità esatta di un dato numero di successi diventa costosa da scrivere a mano e scomoda da cercare in una tavola stampata. La scorciatoia classica è l’approssimazione normale alla binomiale: si sostituisce X ~ Binomial(n, p) con una curva normale che condivide la stessa media np e la stessa varianza np(1-p), poi si legge l’area sotto quella curva. Questo calcolatore accetta un numero intero positivo di prove, una probabilità di successo strettamente fra zero e uno e un conteggio obiettivo di successi; applica la correzione di continuità di Yates che trasforma un conteggio discreto in un intervallo di mezza unità e restituisce la probabilità approssimata insieme a media, deviazione standard e i due punteggi z corretti per continuità.

Come si definisce l’approssimazione normale alla binomiale

Una variabile aleatoria binomiale X conta il numero di successi in n prove di Bernoulli indipendenti che hanno ciascuna la stessa probabilità di successo p. La sua media esatta è n volte p e la sua varianza esatta è n volte p volte uno meno p. Il teorema di de Moivre–Laplace, caso particolare del teorema centrale del limite, afferma che al crescere di n il conteggio standardizzato (X meno la media) diviso per la deviazione standard converge in distribuzione a una normale standard Z.

In pratica si può trattare X come approssimativamente normale con media mu uguale a n p e deviazione standard sigma uguale alla radice di n p (1-p), e convertire qualsiasi evento su X in un’area sotto quella campana. Poiché X è discreta e la normale è continua, una probabilità puntuale grezza P(X uguale a k) crollerebbe in una linea di area zero.

La correzione di continuità di Yates ripara quel disallineamento spalmando l’intero k sull’intervallo unitario da k meno un mezzo a k più un mezzo, così P(X uguale a k) si legge come l’area normale fra quei due seminteri. Lo stesso scostamento di mezza unità trasforma una coda sinistra P(X al più k) nell’area a sinistra di k più un mezzo, e una coda destra P(X almeno k) nell’area a destra di k meno un mezzo.

Il calcolatore valuta quelle aree con la cumulata normale standard Φ tramite l’identità della funzione errore Φ(z) uguale a un mezzo per uno più erf di z sulla radice di due, con l’approssimazione razionale di Abramowitz e Stegun, così ogni chiamata è aritmetica in virgola mobile pura.

Che cosa invia Lei, che cosa riceve e quando la richiesta fallisce

Un tail facoltativo sceglie l’evento: eq (il valore predefinito) approssima P(X uguale a k), le approssima P(X al più k), ge approssima P(X almeno k), lt approssima P(X strettamente minore di k) e gt approssima P(X strettamente maggiore di k). Se trials è zero, negativo o non intero, il gestore respinge la richiesta con un messaggio chiaro che trials deve essere un intero positivo, in linea con l’enunciato d’aula secondo cui un esperimento binomiale richiede un numero intero positivo di prove.

Se p è zero o uno la varianza binomiale si annulla, il punteggio z è indefinito e la richiesta fallisce invece di dividere per zero. Se successes esce da zero a n la richiesta fallisce perché quel conteggio non può verificarsi. Il risultato principale è probability sull’intervallo unitario più percent da incollare nei rapporti, e una breve stringa formula riafferma l’identità di Yates usata.

Il flag della regola pratica è solo diagnostico: un valore falso non respinge la chiamata, perché l’approssimazione resta definita e molti esercizi dei compiti si collocano di proposito vicino al bordo.

Dove questo calcolatore rende e come è tariffato

I team di qualità e affidabilità usano la stessa scorciatoia quando n è abbastanza grande da rendere scomoda una somma binomiale esatta e serve solo una probabilità di coda di pianificazione per conteggi di difetti, ispezioni passa-non-passa o piani di campionamento go-no-go. Analisti di prodotto e crescita approssimano probabilità di conteggio di conversioni quando una campagna è modellata come n prove di Bernoulli indipendenti con un tasso storico p e vogliono la chance di raggiungere o mancare un obiettivo k.

Tenga le richieste entro il tetto di prove pubblicato, fissi la probabilità arrotondata nei test e otterrà un’approssimazione normale riproducibile senza allestire un pacchetto statistico. Se in seguito Le serve la massa o la cumulata binomiale esatta, si rivolga al calcolatore di probabilità binomiale esatta; se ha già due bound z e vuole solo l’area fra di essi, usi lo strumento di intervallo normale standard. Sono intenzioni di ricerca e landing distinte, non sovraccarichi di questa pagina di approssimazione normale.