Calcolatore binomiale negativa

Il calcolatore binomiale negativa risponde a una classica domanda sul tempo di attesa nella probabilità discreta: se ogni prova indipendente riesce con probabilità p, qual è la probabilità che l'r-esimo successo cada esattamente sulla prova k? Fornisci il numero di successi richiesto r, l'indice di prova k (che deve essere almeno r), e la probabilità di successo p sull'intervallo unitario. Il motore restituisce la probabilità puntuale dalla funzione di massa binomiale negativa, insieme a media e varianza della variabile casuale numero-di-prova quando p è positivo. L'aritmetica è in virgola mobile deterministica con un percorso per il coefficiente binomiale in spazio logaritmico, così gli stessi input producono sempre le stesse uscite senza chiamate di rete o campionamento casuale.

Cosa risponde la binomiale negativa e cosa contiene la risposta

Un esperimento binomiale negativo nella parametrizzazione per numero di prova continua a eseguire prove di Bernoulli indipendenti con probabilità di successo fissa p finché non viene raggiunto un numero prescritto di successi r.

Se X indica l'indice di prova su cui avviene quell'r-esimo successo, allora X assume i valori r, r più uno, r più due, e così via, e la sua funzione di massa di probabilità è P(X uguale a k) uguale al coefficiente binomiale C(k meno uno, r meno uno) per p elevato a r per (1 meno p) elevato a k meno r.

Quella formula codifica una storia semplice: tra le prime k meno uno prove ci devono essere esattamente r meno uno successi (e quindi k meno r fallimenti), e la prova k stessa deve essere un successo. Questo calcolatore restituisce quella probabilità puntuale, riporta r, k e p normalizzati, allega la stringa di formula PMF così chi impara può verificare a mano, e include la media r su p e la varianza r per (1 meno p) su p al quadrato quando p è strettamente positivo.

Quando p è uguale a zero, media e varianza vengono restituite come null perché il tempo di attesa per un successo è infinito nel modello, mentre la massa di probabilità per qualunque k finito e r maggiore o uguale a uno è zero. Il contratto è intenzionalmente rigoroso. L'indice di prova k deve essere un intero almeno pari a r e al massimo pari al massimo pubblicato; k sotto r viene respinto invece di restituire uno zero silenzioso che potrebbe nascondere un bug off-by-one in chi chiama.

Questa pagina è solo lo strumento del tempo di attesa binomiale negativa. Non campiona sequenze di prove casuali, non stima p dai dati, e non esegue test di ipotesi o intervalli di confidenza. Se ti serve la binomiale ordinaria P di esattamente k successi in n prove fisse, usa il calcolatore binomiale dedicato; qui l'intento di ricerca è la probabilità che l'r-esimo successo avvenga sulla prova k, con formule esatte ed esecuzione gratuita nel browser.

Come vengono letti r, k e p e come viene calcolata la PMF

Il segno più iniziale opzionale sugli interi è ammesso; spazi incorporati, prefissi esadecimali, segni negativi dove vietati, e notazione esponenziale su campi interi vengono respinti così che una cella sbagliata di un foglio di calcolo non diventi una probabilità errata. La probabilità p accetta numeri decimali ordinari e notazione scientifica come reale finito, poi applica l'intervallo unitario chiuso con un errore esplicito che nomina il campo quando il valore cade fuori da zero a uno.

Dopo l'interpretazione, il motore verifica che k sia almeno r e respinge indici di prova precedenti con un messaggio che nomina entrambi i valori. Il calcolo della funzione di massa usa i logaritmi: log C(k meno uno, r meno uno) è costruito da un prodotto moltiplicativo di rapporti, poi vengono aggiunti r log p e (k meno r) log (1 meno p), e l'esponenziale recupera una probabilità tra zero e uno. Quel percorso evita l'overflow intermedio che i fattoriali completi causerebbero per k moderati.

I casi limite p uguale a zero e p uguale a uno bypassano direttamente a masse esatte zero o uno senza prendere logaritmi di zero: con p uguale a uno l'r-esimo successo avviene sempre sulla prova r, e con p uguale a zero nessuna prova finita fornisce mai r successi. Media e varianza usano le forme chiuse r su p e r per (1 meno p) su p al quadrato quando p è positivo.

Dove si usano le probabilità binomiali negative nello studio, nell'affidabilità e nel codice

Gli studenti incontrano la distribuzione binomiale negativa quando un manuale chiede la probabilità che la terza testa appaia all'ottavo lancio di una moneta truccata, quando una scheda di esercizi vuole la probabilità che il quinto articolo difettoso venga trovato alla ventesima ispezione, o quando verificano che le formule di media e varianza corrispondano alla definizione dalla funzione di massa di probabilità.

Gli insegnanti possono pregenerare chiavi di risposta per r e k modesti senza fidarsi di app di calcolo opache che arrotondano coefficienti intermedi o nascondono quale parametrizzazione è in uso. I team di affidabilità e operazioni abbozzano modelli di tempo di attesa: continuano a testare unità finché non vengono osservati r fallimenti, con p la probabilità di fallimento per unità, e chiedono quanto sia probabile che l'r-esimo fallimento cada sull'unità k.

Gli analisti di prodotto e crescita usano la stessa struttura per funnel di conversione che si fermano dopo un numero obiettivo di eventi riusciti, per esempio la probabilità che l'r-esima iscrizione avvenga alla k-esima visita se ogni visita converte con probabilità p. Gli sviluppatori richiamano il contratto da script per generare vettori di test deterministici, per illustrare trucchi con coefficienti in spazio logaritmico, o per soddisfare sfide di programmazione che richiedono P dell'r-esimo successo sulla prova k per r, k e p dati.

La pratica in gare ha spesso bisogno di una fonte veloce e offline di valori binomiali negativi così le soluzioni possono essere verificate senza incorporare a mano grandi tabelle statiche.