Calculadora binomial negativa

A calculadora binomial negativa responde a uma pergunta clássica de tempo de espera em probabilidade discreta: se cada ensaio independente tem sucesso com probabilidade p, qual é a chance de o r-ésimo sucesso cair exatamente no ensaio k? Você informa o número de sucessos exigido r, o índice de ensaio k (que precisa ser pelo menos r), e a probabilidade de sucesso p no intervalo unitário. O mecanismo retorna a probabilidade pontual da função de massa binomial negativa, junto com a média e a variância da variável aleatória de número de ensaio quando p é positivo. A aritmética é ponto flutuante determinística, com um caminho de coeficiente binomial em espaço logarítmico, então as mesmas entradas sempre produzem as mesmas saídas, sem chamadas de rede nem amostragem aleatória.

O que a binomial negativa responde e o que a resposta contém

Um experimento binomial negativo, na parametrização por número de ensaio, continua realizando ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso fixa p até que um número prescrito de sucessos r tenha sido alcançado.

Se X denota o índice de ensaio no qual esse r-ésimo sucesso ocorre, então X assume os valores r, r mais um, r mais dois, e assim por diante, e sua função de massa de probabilidade é P(X igual a k) igual ao coeficiente binomial C(k menos um, r menos um) vezes p elevado a r vezes (1 menos p) elevado a k menos r.

Essa fórmula codifica uma história simples: entre os primeiros k menos um ensaios precisa haver exatamente r menos um sucessos (e, portanto, k menos r fracassos), e o próprio ensaio k precisa ser um sucesso. Esta calculadora retorna essa probabilidade pontual, ecoa o r, k e p normalizados, anexa a string de fórmula da PMF para que quem aprende possa verificar à mão, e inclui a média r sobre p e a variância r vezes (1 menos p) sobre p ao quadrado quando p é estritamente positivo.

Quando p é igual a zero, a média e a variância são retornadas como nulas, porque o tempo de espera por um sucesso é infinito no modelo, enquanto a massa de probabilidade para qualquer k finito e r maior ou igual a um é zero. O contrato é intencionalmente rígido.

O índice de ensaio k precisa ser um inteiro pelo menos igual a r e no máximo o máximo publicado; k abaixo de r é rejeitado, em vez de retornar um zero silencioso que poderia esconder um erro de índice fora por um em um chamador. Esta página é apenas a ferramenta de tempo de espera binomial negativa. Ela não amostra sequências aleatórias de ensaios, não estima p a partir de dados, e não executa testes de hipótese nem intervalos de confiança.

Se você precisar da binomial comum P de exatamente k sucessos em n ensaios fixos, use a calculadora binomial dedicada; aqui a intenção de busca é a probabilidade de o r-ésimo sucesso ocorrer no ensaio k, com fórmulas exatas e execução gratuita no navegador.

Como r, k e p são lidos e como a PMF é calculada

Sinais de mais à esquerda opcionais em inteiros são permitidos; espaços incorporados, prefixos hexadecimais, sinais negativos onde proibidos, e notação exponencial em campos inteiros são rejeitados, para que uma célula de planilha ruim não vire uma probabilidade errada. A probabilidade p aceita números decimais comuns e notação científica como um real finito, depois impõe o intervalo unitário fechado, com um erro explícito que nomeia o campo quando o valor cai fora de zero a um.

Depois da análise, o mecanismo verifica que k é pelo menos r e rejeita índices de ensaio anteriores com uma mensagem que nomeia os dois valores. O cálculo da função de massa usa logaritmos: log C(k menos um, r menos um) é construído a partir de um produto multiplicativo de razões, depois r log p e (k menos r) log (1 menos p) são somados, e a exponencial recupera uma probabilidade em zero a um. Esse caminho evita o estouro intermediário que fatoriais completos causariam para k moderados.

Casos de fronteira p igual a zero e p igual a um vão diretamente para massas exatas de zero ou um, sem tirar o logaritmo de zero: com p igual a um, o r-ésimo sucesso sempre ocorre no ensaio r, e com p igual a zero, nenhum ensaio finito jamais entrega r sucessos. Média e variância usam as fórmulas fechadas r sobre p e r vezes (1 menos p) sobre p ao quadrado quando p é positivo.

Onde as probabilidades binomiais negativas se encaixam no estudo, na confiabilidade e no código

Estudantes encontram a distribuição binomial negativa quando um livro didático pede a chance de a terceira cara aparecer no oitavo lançamento de uma moeda viciada, quando uma planilha de exercícios quer a probabilidade de o quinto item defeituoso ser encontrado na vigésima inspeção, ou quando eles verificam que as fórmulas de média e variância correspondem à definição da função de massa de probabilidade.

Professores podem gerar gabaritos previamente para r e k modestos sem confiar em aplicativos de calculadora opacos que arredondam coeficientes intermediários ou escondem qual parametrização está em uso. Equipes de confiabilidade e operações esboçam modelos de tempo de espera: continuam testando unidades até que r falhas sejam observadas, com p a probabilidade de falha por unidade, e perguntam quão provável é que a r-ésima falha caia na unidade k.

Analistas de produto e crescimento usam a mesma estrutura para funis de conversão que param depois de um número-alvo de eventos bem-sucedidos, por exemplo, a chance de o r-ésimo cadastro ocorrer na k-ésima visita se cada visita converte com probabilidade p. Desenvolvedores chamam o contrato a partir de scripts para gerar vetores de teste determinísticos, para ilustrar truques de coeficiente em espaço logarítmico, ou para atender enunciados de desafios de programação que exigem P do r-ésimo sucesso no ensaio k para r, k e p dados.

A prática de concursos costuma precisar de uma fonte rápida e offline de valores binomiais negativos, para que soluções possam ser verificadas sem embutir tabelas estáticas grandes à mão.