Calculateur binomial négatif

Le calculateur binomial négatif répond à une question classique de temps d'attente en probabilité discrète : si chaque essai indépendant réussit avec une probabilité p, quelle est la chance que le r-ième succès tombe exactement à l'essai k ? Vous fournissez le nombre de succès requis r, l'indice d'essai k (qui doit être au moins r), et la probabilité de succès p sur l'intervalle unité. Le moteur renvoie la probabilité ponctuelle de la fonction de masse binomiale négative, avec la moyenne et la variance de la variable aléatoire numéro d'essai lorsque p est positif. L'arithmétique est de la virgule flottante déterministe avec une voie de coefficient binomial en espace logarithmique, si bien que les mêmes entrées produisent toujours les mêmes sorties sans appels réseau ni échantillonnage aléatoire.

Ce à quoi répond la binomiale négative et ce que contient la réponse

Une expérience binomiale négative dans la paramétrisation par numéro d'essai continue d'exécuter des essais de Bernoulli indépendants avec une probabilité de succès fixe p jusqu'à ce qu'un nombre prescrit de succès r ait été atteint.

Si X désigne l'indice d'essai auquel ce r-ième succès survient, alors X prend les valeurs r, r plus un, r plus deux, et ainsi de suite, et sa fonction de masse de probabilité est P(X égale k) égale le coefficient binomial C(k moins un, r moins un) fois p à la r fois (1 moins p) à la puissance k moins r.

Cette formule encode une histoire simple : parmi les k moins un premiers essais, il doit y avoir exactement r moins un succès (et donc k moins r échecs), et l'essai k lui-même doit être un succès. Ce calculateur renvoie cette probabilité ponctuelle, reprend r, k, et p normalisés, joint la chaîne de formule PMF afin que les apprenants puissent vérifier à la main, et inclut la moyenne r sur p et la variance r fois (1 moins p) sur p au carré lorsque p est strictement positif.

Lorsque p égale zéro, la moyenne et la variance sont renvoyées comme null car le temps d'attente pour un succès est infini dans le modèle, tandis que la masse de probabilité pour tout k fini et r supérieur ou égal à un est zéro. Le contrat est volontairement strict.

L'indice d'essai k doit être un entier d'au moins r et d'au plus le maximum publié ; un k en dessous de r est rejeté plutôt que de renvoyer un zéro silencieux qui pourrait cacher un bug de décalage d'un chez un appelant. Des champs manquants, des non-entiers pour r ou k, des nombres non finis, et la notation scientifique sur des champs entiers sont rejetés avec des messages clairs afin que les tests de référence restent stables et que la mise en cache reste sûre.

Cette page est uniquement l'outil de temps d'attente binomial négatif. Elle n'échantillonne pas de séquences d'essais aléatoires, n'estime pas p à partir de données, et n'exécute pas de tests d'hypothèse ni d'intervalles de confiance. Si vous avez besoin de la binomiale ordinaire P d'exactement k succès dans n essais fixes, utilisez le calculateur binomial dédié ; ici l'intention de recherche est la probabilité que le r-ième succès survienne à l'essai k, avec des formules exactes et une exécution gratuite dans le navigateur.

Comment r, k, et p sont lus et comment la PMF est calculée

Les signes plus initiaux optionnels sur les entiers sont autorisés ; les espaces internes, les préfixes hexadécimaux, les signes négatifs là où ils sont interdits, et la notation exponentielle sur des champs entiers sont rejetés afin qu'une mauvaise cellule de tableur ne devienne pas une mauvaise probabilité. La probabilité p accepte des nombres décimaux ordinaires et la notation scientifique comme un réel fini, puis applique l'intervalle unité fermé avec une erreur explicite qui nomme le champ lorsque la valeur tombe en dehors de zéro à un.

Après l'analyse, le moteur vérifie que k est au moins r et rejette des indices d'essai plus tôt avec un message qui nomme les deux valeurs. Le calcul de la fonction de masse utilise des logarithmes : log C(k moins un, r moins un) est construit à partir d'un produit multiplicatif de ratios, puis r log p et (k moins r) log (1 moins p) sont ajoutés, et l'exponentielle récupère une probabilité entre zéro et un.

Ce chemin évite le dépassement intermédiaire que les factorielles complètes causeraient pour un k modéré. Les cas limites p égale zéro et p égale un court-circuitent vers des masses exactement zéro ou un sans prendre le logarithme de zéro : avec p égale un, le r-ième succès survient toujours à l'essai r, et avec p égale zéro, aucun essai fini ne livre jamais r succès.

La moyenne et la variance utilisent les formes closes r sur p et r fois (1 moins p) sur p au carré lorsque p est positif.

Où les probabilités binomiales négatives s'inscrivent dans l'étude, la fiabilité et le code

Les élèves rencontrent la distribution binomiale négative lorsqu'un manuel demande la chance que le troisième face apparaisse au huitième lancer d'une pièce biaisée, lorsqu'une fiche d'exercices veut la probabilité que le cinquième article défectueux soit trouvé à la vingtième inspection, ou lorsqu'ils vérifient que les formules de moyenne et de variance correspondent à la définition issue de la fonction de masse de probabilité.

Les enseignants peuvent pré-générer des corrigés pour des r et k modestes sans faire confiance à des applications de calculatrice opaques qui arrondissent les coefficients intermédiaires ou cachent quelle paramétrisation est utilisée. Les équipes fiabilité et opérations esquissent des modèles de temps d'attente : continuer à tester des unités jusqu'à ce que r échecs soient observés, avec p la probabilité d'échec par unité, et demander la probabilité que le r-ième échec tombe sur l'unité k.

Les analystes produit et croissance utilisent la même structure pour des entonnoirs de conversion qui s'arrêtent après un nombre cible d'événements réussis, par exemple la chance que la r-ième inscription survienne à la k-ième visite si chaque visite convertit avec une probabilité p.

Les développeurs appellent le contrat depuis des scripts pour amorcer des vecteurs de test déterministes, pour illustrer des astuces de coefficient en espace logarithmique, ou pour satisfaire des énoncés de défis de programmation qui exigent P du r-ième succès à l'essai k pour r, k, et p donnés. La pratique en concours a souvent besoin d'une source rapide et hors ligne de valeurs binomiales négatives afin que les solutions puissent être vérifiées sans intégrer de grandes tables statiques à la main.

Associez-le au calculateur de probabilité binomiale lorsque le nombre d'essais est fixe plutôt que le nombre de succès, à des compteurs combinatoires lorsque vous n'avez besoin que de C(n, k), et à d'autres points de terminaison de mathématiques lorsque vous construisez un petit laboratoire d'utilitaires de probabilité gratuits et déterministes.