حاسبة ذي الحدين السالب

تجيب حاسبة ذي الحدين السالب عن سؤال زمن انتظار كلاسيكي في الاحتمال المتقطع: إذا نجحت كل محاولة مستقلة باحتمال p، فما فرصة أن يقع النجاح رقم r عند المحاولة k بالضبط؟ تُدخل عدد النجاحات المطلوب r، ودليل المحاولة k (الذي يجب ألا يقل عن r)، واحتمال النجاح p على الفترة الوحدوية. يُعيد المحرك الاحتمال النقطي من دالة الكتلة ذات الحدين السالب، مع متوسط وتباين متغير رقم المحاولة العشوائي عندما تكون p موجبة. الحساب فاصلة عائمة حتمية بمسار معامل ذي حدين في الفضاء اللوغاريتمي، فتنتج المدخلات نفسها دائمًا المخرجات نفسها بلا اتصال بالشبكة أو أخذ عينات عشوائي.

عمّ يجيب ذو الحدين السالب وما الذي يحتويه الرد

تجربة ذات حدين سالب في تحديد معلمة رقم المحاولة تستمر بإجراء محاولات برنولي مستقلة باحتمال نجاح ثابت p حتى يُبلَغ عدد نجاحات محدد مسبقًا r. فإن دلّت X على دليل المحاولة التي يقع عندها ذلك النجاح رقم r، تأخذ X القيم r وr زائد واحد وr زائد اثنين وهكذا، ودالة كتلتها الاحتمالية P(X تساوي k) تساوي معامل ذي الحدين C(k ناقص واحد, r ناقص واحد) مضروبًا في p أس r مضروبًا في (1 ناقص p) أس k ناقص r.

تلك الصيغة تُشفِّر قصة بسيطة: بين أول k ناقص واحد محاولة يجب أن يكون هناك r ناقص واحد نجاحًا بالضبط (وبالتالي k ناقص r فشلًا)، ويجب أن تكون المحاولة k نفسها نجاحًا. تُعيد هذه الحاسبة ذلك الاحتمال النقطي، وتكرر r وk وp المطبَّعة، وترفق سلسلة صيغة PMF حتى يتحقق المتعلمون منها يدويًا، وتتضمن المتوسط r على p والتباين r مضروبًا في (1 ناقص p) على p تربيع عندما تكون p موجبة تمامًا.

عندما تساوي p صفرًا، يُعاد المتوسط والتباين ك null لأن زمن انتظار النجاح لانهائي في النموذج، بينما تكون كتلة الاحتمال لأي k منتهٍ وr أكبر من أو يساوي واحدًا صفرًا. العقد صارم عمدًا. يجب أن يكون دليل المحاولة k عددًا صحيحًا لا يقل عن r ولا يزيد عن الأقصى المنشور؛ وتُرفض k الأقل من r بدل إعادة صفر صامت قد يخفي خطأ إزاحة بواحد لدى المستدعي.

غياب الحقول، والأعداد غير الصحيحة ل r أو k، والأرقام غير المنتهية، والصيغة العلمية على الحقول الصحيحة، تُرفض برسائل واضحة حتى تبقى الاختبارات المرجعية ثابتة ويبقى التخزين المؤقت آمنًا. هذه الصفحة أداة زمن الانتظار ذي الحدين السالب فقط. لا تأخذ عينات من تسلسلات محاولات عشوائية، ولا تقدّر p من بيانات، ولا تُشغّل اختبارات فرضية أو فترات ثقة.

إن احتجت إلى احتمال ذي الحدين العادي P لعدد k نجاحات بالضبط في n محاولة ثابتة، فاستخدم حاسبة ذي الحدين المخصصة؛ فنيّة البحث هنا احتمال وقوع النجاح رقم r عند المحاولة k، بصيغ دقيقة وتنفيذ مجاني في المتصفح.

كيف تُقرأ r وk وp وكيف تُحسب دالة الكتلة

تُقبل إشارة الجمع البادئة الاختيارية على الأعداد الصحيحة؛ أما المسافات الداخلية وبادئات الست عشري والإشارات السالبة حيث تُمنع والصيغة الأسّية على الحقول الصحيحة فتُرفض حتى لا تتحول خلية جدول بيانات خاطئة إلى احتمال خاطئ. يقبل احتمال p الأرقام العشرية العادية والصيغة العلمية كعدد حقيقي منتهٍ، ثم يفرض الفترة الوحدوية المغلقة بخطأ صريح يسمّي الحقل عندما تقع القيمة خارج صفر إلى واحد. بعد التحليل، يتحقق المحرك من أن k لا تقل عن r ويرفض أدلة محاولات أبكر برسالة تسمّي كلتا القيمتين.

يستخدم حساب دالة الكتلة اللوغاريتمات: يُبنى log C(k ناقص واحد, r ناقص واحد) من حاصل ضرب نسب متتالٍ، ثم تُضاف r log p و(k ناقص r) log (1 ناقص p)، ويستعيد الأس احتمالًا بين صفر وواحد. يتجنب ذلك المسار الفيض الوسيط الذي قد تسببه العواملي الكاملة ل k معتدل.

تتفادى الحالتان الحديتان p تساوي صفرًا وp تساوي واحدًا أخذ لوغاريتم الصفر وتنتقلان مباشرة إلى كتل دقيقة صفر أو واحد: مع p تساوي واحدًا يقع النجاح رقم r دائمًا عند المحاولة r، ومع p تساوي صفرًا لا تُنتج أي محاولة منتهية r نجاحًا أبدًا. يستخدم المتوسط والتباين الصيغتين المغلقتين r على p وr مضروبًا في (1 ناقص p) على p تربيع عندما تكون p موجبة.

أين تُستخدم احتمالات ذي الحدين السالب في الدراسة والموثوقية والبرمجة

يواجه الطلاب توزيع ذي الحدين السالب عندما يطلب كتاب مدرسي فرصة ظهور الصورة النقشية الثالثة عند الرمية الثامنة لعملة منحازة، أو عندما تريد ورقة عمل احتمال إيجاد العنصر المعيب الخامس عند الفحص العشرين، أو عندما يتحققون من أن صيغتي المتوسط والتباين تطابقان التعريف المبني من دالة الكتلة الاحتمالية. ويستطيع المعلمون توليد مفاتيح إجابة مسبقًا ل r وk معتدلة دون الوثوق بتطبيقات حاسبة مبهمة تقرّب معاملات وسيطة أو تخفي معلمة التوزيع المستخدَمة.

وترسم فرق الموثوقية والعمليات نماذج زمن انتظار: استمر باختبار الوحدات حتى تُلاحَظ r عطلًا، ب p احتمال العطل لكل وحدة، واسأل كم يُحتمَل أن يقع العطل رقم r عند الوحدة k. ويستخدم محللو المنتج والنمو البنية نفسها لقمع تحويل يتوقف بعد عدد مستهدَف من الأحداث الناجحة، مثلًا فرصة أن يقع التسجيل رقم r عند الزيارة رقم k إذا حوّلت كل زيارة باحتمال p.

ويستدعي المطورون العقد من نصوص برمجية لتوليد متجهات اختبار حتمية، ولتوضيح حيل معامل الفضاء اللوغاريتمي، أو لتلبية تحديات برمجية تفرض احتمال النجاح رقم r عند المحاولة k ل r وk وp معطاة. وكثيرًا ما تحتاج ممارسة المسابقات إلى مصدر سريع دون اتصال لقيم ذي الحدين السالب حتى تُتحقَّق الحلول دون تضمين جداول ثابتة ضخمة يدويًا.

اجمعها مع حاسبة الاحتمال ذي الحدين عندما يكون عدد المحاولات ثابتًا بدل عدد النجاحات، ومع عدّادات توافقية عندما تحتاج C(n, k) فقط، ومع نقاط نهاية رياضية أخرى عند بناء مختبر صغير من مساعدات احتمال مجانية وحتمية.