Calculadora binomial negativa

La calculadora binomial negativa responde a una pregunta clásica de tiempo de espera en probabilidad discreta: si cada ensayo independiente tiene éxito con probabilidad p, ¿cuál es la probabilidad de que el r-ésimo éxito caiga exactamente en el ensayo k? Usted proporciona el número de éxitos requerido r, el índice de ensayo k (que debe ser al menos r), y la probabilidad de éxito p en el intervalo unitario. El motor devuelve la probabilidad puntual de la función de masa binomial negativa, junto con la media y la varianza de la variable aleatoria de número de ensayo cuando p es positiva. La aritmética es punto flotante determinista con una vía de coeficiente binomial en espacio logarítmico, así que las mismas entradas siempre producen las mismas salidas sin llamadas de red ni muestreo aleatorio.

Qué responde la binomial negativa y qué contiene la respuesta

Un experimento binomial negativo en la parametrización de número de ensayo mantiene ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito fija p hasta que se alcanza un número prescrito de éxitos r.

Si X denota el índice de ensayo en el que ocurre ese r-ésimo éxito, entonces X toma los valores r, r más uno, r más dos, y así sucesivamente, y su función de masa de probabilidad es P(X igual a k) igual al coeficiente binomial C(k menos uno, r menos uno) por p elevado a r por (1 menos p) elevado a la potencia de k menos r.

Esa fórmula codifica una historia simple: entre los primeros k menos uno ensayos debe haber exactamente r menos uno éxitos (y por lo tanto k menos r fracasos), y el ensayo k mismo debe ser un éxito.

Esta calculadora devuelve esa probabilidad puntual, repite los valores normalizados de r, k y p, adjunta la cadena de fórmula de la PMF para que quien aprende pueda verificar a mano, e incluye la media r sobre p y la varianza r por (1 menos p) sobre p al cuadrado cuando p es estrictamente positiva.

Cuando p es igual a cero, la media y la varianza se devuelven como null porque el tiempo de espera para un éxito es infinito en el modelo, mientras que la masa de probabilidad para cualquier k finito y r mayor o igual a uno es cero. El contrato es deliberadamente estricto.

El índice de ensayo k debe ser un entero de al menos r y como máximo el máximo publicado; un k por debajo de r se rechaza en lugar de devolver un cero silencioso que podría ocultar un error de desfase en un llamador. Los campos ausentes, los no enteros para r o k, los números no finitos, y la notación científica en campos enteros se rechazan con mensajes claros para que las pruebas doradas se mantengan estables y la caché siga siendo segura.

Esta página es solo la herramienta de tiempo de espera binomial negativo. No muestrea secuencias aleatorias de ensayos, no estima p a partir de datos, y no ejecuta pruebas de hipótesis ni intervalos de confianza. Si necesita la P binomial ordinaria de exactamente k éxitos en n ensayos fijos, use la calculadora binomial dedicada; aquí la intención de búsqueda es la probabilidad de que el r-ésimo éxito ocurra en el ensayo k, con fórmulas exactas y ejecución gratuita en el navegador.

Cómo se leen r, k y p, y cómo se calcula la PMF

Se permiten signos más iniciales opcionales en enteros; los espacios incrustados, los prefijos hexadecimales, los signos negativos donde están prohibidos, y la notación exponencial en campos enteros se rechazan para que una celda mal escrita de hoja de cálculo no se convierta en una probabilidad incorrecta. La probabilidad p acepta números decimales ordinarios y notación científica como un real finito, y luego impone el intervalo unitario cerrado con un error explícito que nombra el campo cuando el valor cae fuera de cero a uno.

Tras el análisis, el motor comprueba que k sea al menos r y rechaza índices de ensayo anteriores con un mensaje que nombra ambos valores. El cálculo de la función de masa usa logaritmos: log C(k menos uno, r menos uno) se construye a partir de un producto multiplicativo de razones, luego se suman r log p y (k menos r) log (1 menos p), y la exponencial recupera una probabilidad en cero a uno. Esa vía evita el desbordamiento intermedio que causarían los factoriales completos para k moderados.

Los casos límite p igual a cero y p igual a uno saltan directamente a masas exactas de cero o uno sin tomar logaritmos de cero: con p igual a uno, el r-ésimo éxito siempre ocurre en el ensayo r, y con p igual a cero, ningún ensayo finito entrega jamás r éxitos. La media y la varianza usan las fórmulas cerradas r sobre p y r por (1 menos p) sobre p al cuadrado cuando p es positiva.

Dónde encajan las probabilidades binomiales negativas en el estudio, la confiabilidad y el código

Los estudiantes se encuentran con la distribución binomial negativa cuando un libro de texto pide la probabilidad de que la tercera cara aparezca en el octavo lanzamiento de una moneda sesgada, cuando una hoja de trabajo quiere la probabilidad de que el quinto artículo defectuoso se encuentre en la vigésima inspección, o cuando verifican que las fórmulas de media y varianza coinciden con la definición de la función de masa de probabilidad.

Los docentes pueden pregenerar claves de respuesta para r y k modestos sin confiar en apps de calculadora opacas que redondean coeficientes intermedios u ocultan qué parametrización se usa. Los equipos de confiabilidad y operaciones bosquejan modelos de tiempo de espera: siguen probando unidades hasta observar r fallas, con p la probabilidad de falla por unidad, y preguntan qué tan probable es que la r-ésima falla caiga en la unidad k.

Los analistas de producto y crecimiento usan la misma estructura para embudos de conversión que se detienen tras un número objetivo de eventos exitosos, por ejemplo la probabilidad de que el r-ésimo registro ocurra en la k-ésima visita si cada visita convierte con probabilidad p. Los desarrolladores llaman al contrato desde scripts para sembrar vectores de prueba deterministas, para ilustrar trucos de coeficientes en espacio logarítmico, o para satisfacer enunciados de desafíos de programación que exigen P del r-ésimo éxito en el ensayo k para r, k y p dados.

La práctica de concursos suele necesitar una fuente rápida y sin conexión de valores binomiales negativos para que las soluciones puedan verificarse sin incrustar grandes tablas estáticas a mano.