Negativbinomial-Rechner

Der Negativbinomial-Rechner beantwortet eine klassische Wartezeit-Frage in der diskreten Wahrscheinlichkeitsrechnung: Wenn jeder unabhängige Versuch mit Wahrscheinlichkeit p erfolgreich ist, wie hoch ist die Chance, dass der r-te Erfolg genau bei Versuch k eintritt? Sie geben die erforderliche Erfolgszahl r, den Versuchsindex k (der mindestens r sein muss) und die Erfolgswahrscheinlichkeit p im Einheitsintervall an. Die Engine liefert die Punktwahrscheinlichkeit aus der Negativbinomial-Massenfunktion, zusammen mit dem Mittelwert und der Varianz der Versuchsanzahl-Zufallsvariable, wenn p positiv ist. Die Arithmetik ist deterministische Gleitkomma-Berechnung mit einem Log-Raum-Binomialkoeffizientenpfad, sodass dieselben Eingaben immer dieselben Ausgaben ohne Netzwerkaufrufe oder Zufallsstichproben erzeugen.

Was die Negativbinomialverteilung beantwortet und was die Antwort enthält

Ein Negativbinomial-Experiment in der Versuchsanzahl-Parametrisierung führt fortlaufend unabhängige Bernoulli-Versuche mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit p durch, bis eine vorgeschriebene Anzahl von Erfolgen r erreicht ist. Bezeichnet X den Versuchsindex, bei dem dieser r-te Erfolg eintritt, nimmt X die Werte r, r plus eins, r plus zwei und so weiter an, und ihre Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist P(X gleich k) gleich der Binomialkoeffizient C(k minus eins, r minus eins) mal p hoch r mal (1 minus p) hoch k minus r.

Diese Formel kodiert eine einfache Geschichte: Unter den ersten k minus eins Versuchen müssen genau r minus eins Erfolge sein (und daher k minus r Fehlschläge), und Versuch k selbst muss ein Erfolg sein. Dieser Rechner liefert diese Punktwahrscheinlichkeit, spiegelt die normalisierten r, k und p, fügt die PMF-Formel-Zeichenkette hinzu, damit Lernende von Hand gegenprüfen können, und enthält den Mittelwert r über p und die Varianz r mal (1 minus p) über p zum Quadrat, wenn p strikt positiv ist.

Ist p gleich null, werden Mittelwert und Varianz als null (Nullwert) zurückgegeben, weil die Wartezeit auf einen Erfolg im Modell unendlich ist, während die Wahrscheinlichkeitsmasse für jedes endliche k und r größer oder gleich eins null ist. Der Vertrag ist bewusst streng. Der Versuchsindex k muss eine Ganzzahl von mindestens r und höchstens dem veröffentlichten Maximum sein; k unter r wird zurückgewiesen statt stillschweigend null zurückzugeben, was einen Off-by-one-Fehler bei einem Aufrufer verbergen könnte.

Sie sampelt keine zufälligen Versuchsfolgen, schätzt p nicht aus Daten und führt keine Hypothesentests oder Konfidenzintervalle durch. Wenn Sie das gewöhnliche Binomial P von genau k Erfolgen in einem festen n Versuchen benötigen, nutzen Sie den dedizierten Binomial-Rechner; hier lautet die Suchabsicht die Wahrscheinlichkeit, dass der r-te Erfolg bei Versuch k eintritt, mit exakten Formeln und kostenloser Browser-Ausführung.

Wie r, k und p gelesen werden und wie die PMF berechnet wird

Optionale führende Pluszeichen bei Ganzzahlen sind erlaubt; eingebettete Leerzeichen, Hex-Präfixe, Minuszeichen wo verboten und Exponentialnotation bei Ganzzahlfeldern werden zurückgewiesen, damit eine fehlerhafte Tabellenzelle nicht zu einer falschen Wahrscheinlichkeit wird. Die Wahrscheinlichkeit p akzeptiert gewöhnliche Dezimalzahlen und wissenschaftliche Notation als endliche reelle Zahl, erzwingt dann das geschlossene Einheitsintervall mit einer expliziten Fehlermeldung, die das Feld benennt, wenn der Wert außerhalb von null bis eins liegt. Nach dem Parsen prüft die Engine, dass k mindestens r ist, und weist frühere Versuchsindizes mit einer Meldung zurück, die beide Werte benennt.

Die Berechnung der Massenfunktion nutzt Logarithmen: log C(k minus eins, r minus eins) wird aus einem multiplikativen Produkt von Verhältnissen gebildet, dann werden r log p und (k minus r) log (1 minus p) addiert, und die Exponentialfunktion gewinnt eine Wahrscheinlichkeit zwischen null und eins zurück. Dieser Pfad vermeidet Zwischenüberlauf, den vollständige Fakultäten bei moderatem k verursachen würden.

Grenzfälle p gleich null und p gleich eins schalten direkt auf exakte Null- oder Eins-Massen um, ohne Logarithmen von null zu bilden: Mit p gleich eins tritt der r-te Erfolg immer bei Versuch r ein, und mit p gleich null liefert kein endlicher Versuch jemals r Erfolge. Mittelwert und Varianz nutzen die geschlossenen Formen r über p und r mal (1 minus p) über p zum Quadrat, wenn p positiv ist.

Wo Negativbinomial-Wahrscheinlichkeiten bei Studium, Zuverlässigkeit und Code Anwendung finden

Studierende begegnen der Negativbinomialverteilung, wenn ein Lehrbuch nach der Chance fragt, dass der dritte Kopf-Wurf beim achten Wurf einer verzerrten Münze erscheint, wenn ein Arbeitsblatt die Wahrscheinlichkeit will, dass der fünfte defekte Artikel bei der zwanzigsten Inspektion gefunden wird, oder wenn sie prüfen, dass die Mittelwert- und Varianzformeln zur Definition aus der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion passen. Lehrkräfte können Lösungsschlüssel für moderate r und k vorab erstellen, ohne undurchsichtigen Taschenrechner-Apps zu vertrauen, die Zwischenkoeffizienten runden oder verbergen, welche Parametrisierung verwendet wird.

Zuverlässigkeits- und Betriebsteams skizzieren Wartezeitmodelle: Testen Sie weiterhin Einheiten, bis r Ausfälle beobachtet werden, mit p der Ausfallwahrscheinlichkeit pro Einheit, und fragen Sie, wie wahrscheinlich es ist, dass der r-te Ausfall bei Einheit k liegt. Produkt- und Wachstumsanalysten nutzen dieselbe Struktur für Konversions-Funnels, die nach einer Zielzahl erfolgreicher Ereignisse stoppen, zum Beispiel die Chance, dass die r-te Anmeldung beim k-ten Besuch eintritt, wenn jeder Besuch mit Wahrscheinlichkeit p konvertiert.

Entwickler rufen den Vertrag aus Skripten auf, um deterministische Testvektoren zu speisen, um Log-Raum-Koeffiziententricks zu veranschaulichen, oder um Programmieraufgaben zu erfüllen, die P des r-ten Erfolgs bei Versuch k für gegebenes r, k und p verlangen. Wettbewerbspraxis braucht oft eine schnelle Offline-Quelle für Negativbinomial-Werte, damit Lösungen ohne große statische Tabellen von Hand geprüft werden können.

Kombinieren Sie ihn mit dem Binomialwahrscheinlichkeits-Rechner, wenn die Anzahl der Versuche statt der Anzahl der Erfolge fest ist, mit kombinatorischen Zählern, wenn Sie nur C(n, k) benötigen, und mit weiteren Mathematik-Endpunkten, wenn Sie ein kleines Labor kostenloser, deterministischer Wahrscheinlichkeitshilfen aufbauen.