Geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung beantwortet eine einfache Frage wiederholter Versuche: Wenn jeder Versuch mit derselben Wahrscheinlichkeit p gelingt, wie groß ist die Chance, dass der erste Erfolg genau bei Versuch k eintritt? Studierende begegnen diesem Modell in Lehrbüchern; Analysten in Retry-Schleifen, Verkaufstrichtern und Qualitätskontrollen. Diese Fähigkeit wertet die klassische Form Versuche-bis-zum-ersten-Erfolg des geometrischen Gesetzes aus: P(X gleich k) ist (1 minus p) hoch (k minus 1), mal p, für positive ganze k. Sie liefert auch die Erwartung E[X] gleich eins über p, die Varianz und die kumulative Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg bis Versuch k bereits eingetreten ist. Eingaben werden streng validiert: p muss im halboffenen Intervall (0, 1] liegen, und k muss eine positive ganze Zahl innerhalb der veröffentlichten Grenzen sein.

Was das geometrische Modell abdeckt und wie Wahrscheinlichkeit definiert ist

Stellen Sie sich unabhängige Bernoulli-Versuche vor, die mit fester Wahrscheinlichkeit p gelingen und mit Wahrscheinlichkeit q gleich eins minus p scheitern. Fahren Sie fort, bis der erste Erfolg erscheint. Die Zufallsvariable X ist die Versuchsnummer dieses ersten Erfolgs, also ist der Träger die positiven ganzen Zahlen eins, zwei, drei und so weiter.

Genau ein Pfad erzeugt einen ersten Erfolg bei Versuch k: bei den ersten k minus eins Versuchen scheitern, dann bei Versuch k gelingen. Weil Versuche unabhängig sind, hat dieser Pfad Wahrscheinlichkeit q hoch (k minus eins) mal p. Dieser Ausdruck ist die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion, die dieser Rechner zurückgibt.

Die Erwartung folgt aus der Standardreihe des geometrischen Gesetzes: im Mittel brauchen Sie eins über p Versuche vor dem ersten Erfolg, also erwartet ein Prozess mit p gleich ein Viertel vier Versuche. Die Varianz ist q über p im Quadrat und wächst, wenn Erfolge selten sind.

Die Verteilungsfunktion F von k ist eins minus q hoch k, die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg bereits bei oder vor Versuch k eingetreten ist—nützlich, wenn eine Richtlinie sagt «nach zehn Versuchen aufgeben» und Sie die Chance wollen, bis dahin bereits erfolgreich gewesen zu sein. Diese Seite nutzt bewusst die Konvention Versuche-bis-Erfolg (Träger ab eins), nicht die der Misserfolge-vor-Erfolg (Träger ab null). Beide erscheinen in der Literatur; sie verschieben k um eins und ändern die Erwartung von eins über p zu q über p.

Münzwurf-Demos mit p gleich ein Halb und kleinem k lassen sich leicht von Hand prüfen: für k gleich drei erhalten Sie (ein Halb) im Quadrat mal ein Halb gleich ein Achtel. Randfälle werden explizit behandelt: wenn p gleich eins ist, ist der erste Erfolg bei Versuch eins sicher und danach unmöglich; wenn p gegen null geht, verteilt sich die Masse über große k und die Erwartung wächst unbegrenzt—daher wird p gleich null abgelehnt, statt ein stilles Unendlich zurückzugeben.

Praktische Tipps, Grenzen und Unterschiede zu verwandten Werkzeugen

Verwechseln Sie diese Seite nicht mit Binomial-Werkzeugen oder Kombinationszählern anderswo im Kit: das Binomialgesetz zählt, wie viele Erfolge in einer festen Anzahl Versuche vorkommen, während das geometrische am ersten Erfolg stoppt und den Versuchsindex als zufällig behandelt. Würfelsummen-Wahrscheinlichkeitsseiten beantworten eine andere Suchabsicht—Summen polyedrischer Gesichter—, nicht wiederholte Bernoulli-Wartezeiten. Wenn Sie die Parametrisierung Misserfolge-vor-Erfolg brauchen, wandeln Sie um: die Anzahl Misserfolge vor dem ersten Erfolg ist X minus eins, mit Erwartung q über p; dieser Rechner behält die Versuchsnummer-Form, weil sie der Phrase «erster Erfolg bei Versuch k» in Suchanfragen entspricht.

Fehlgeschlagene Validierung verbraucht nie vorausbezahltes Guthaben, sodass Explorationsskripte Ränder günstig prüfen können.