Loi géométrique

La loi géométrique répond à une question simple d'essais répétés : si chaque tentative réussit avec la même probabilité p, quelle est la chance que le premier succès tombe exactement à l'essai k ? Les étudiants rencontrent ce modèle dans les manuels ; les analystes, dans les boucles de réessai, les entonnoirs de vente et les contrôles qualité. Cette capacité évalue la forme classique essais-jusqu'au-premier-succès de la loi géométrique : P(X égal à k) vaut (1 moins p) à la puissance (k moins 1), fois p, pour les entiers positifs k. Elle renvoie aussi l'espérance E[X] égale à un sur p, la variance, et la probabilité cumulée que le premier succès se soit déjà produit pour l'essai k. Les entrées sont validées strictement : p doit appartenir à l'intervalle semi-ouvert (0, 1], et k doit être un entier positif entier dans les limites publiées.

Ce que couvre le modèle géométrique et comment la probabilité est définie

Imaginez des essais de Bernoulli indépendants qui réussissent avec une probabilité fixe p et échouent avec une probabilité q égale à un moins p. Continuez jusqu'à l'apparition du premier succès. La variable aléatoire X est le numéro d'essai de ce premier succès, donc le support est les entiers positifs un, deux, trois, et ainsi de suite.

Exactement un chemin produit un premier succès à l'essai k : échouer aux k moins un premiers essais, puis réussir à l'essai k. Comme les essais sont indépendants, ce chemin a pour probabilité q à la puissance (k moins un) fois p. Cette expression est la fonction de masse de probabilité renvoyée par ce calculateur.

L'espérance suit de la série standard de la loi géométrique : en moyenne vous avez besoin d'un sur p essais avant le premier succès, donc un processus avec p égal à un quart attend quatre tentatives. La variance est q sur p au carré, qui croît quand les succès sont rares.

La fonction de répartition F de k vaut un moins q à la puissance k, la probabilité que le premier succès se soit déjà produit à ou avant l'essai k—utile quand une politique dit « abandonner après dix essais » et que vous voulez la chance d'avoir déjà réussi d'ici là. Cette page utilise délibérément la convention essais-jusqu'au-succès (support à partir de un), non celle des échecs-avant-succès (support à partir de zéro).

Les deux apparaissent dans la littérature ; elles décalent k d'un et changent l'espérance de un sur p à q sur p. Les démos pile-ou-face avec p égal à un demi et un petit k se vérifient facilement à la main : pour k égal à trois vous obtenez (un demi) au carré fois un demi égal à un huitième.

Les cas limites sont traités explicitement : quand p vaut un, le premier succès est certain à l'essai un et impossible ensuite ; quand p approche zéro la masse s'étale sur de grands k et l'espérance croît sans borne—aussi p égal à zéro est rejeté plutôt que de renvoyer un infini silencieux.

Conseils pratiques, limites et différences avec les outils connexes

Ne confondez pas cette page avec les outils binomiaux ou les compteurs de combinaisons ailleurs dans le kit : la loi binomiale compte combien de succès se produisent dans un nombre fixe d'essais, tandis que la géométrique s'arrête au premier succès et traite l'indice d'essai comme aléatoire. Les pages de probabilité de somme de dés répondent à une autre intention de recherche—sommes de faces polyédriques—, non à des attentes de Bernoulli répétées.

Si vous avez besoin de la paramétrisation échecs-avant-succès, convertissez : le nombre d'échecs avant le premier succès est X moins un, avec espérance q sur p ; ce calculateur garde la forme numéro d'essai car elle correspond à la phrase « premier succès à l'essai k » dans les requêtes de recherche. Une validation échouée ne dépense jamais le solde prépayé, de sorte que les scripts exploratoires peuvent sonder les bords à bas coût.