Distribuzione geometrica

La distribuzione geometrica risponde a una semplice domanda su prove ripetute: se ogni tentativo ha la stessa probabilità di successo p, qual è la chance che il primo successo cada esattamente alla prova k? Gli studenti la incontrano nei libri di testo; gli analisti, nei cicli di ritento, nei funnel di vendita e nei controlli qualità. Questa capacità valuta la forma classica prove-fino-al-primo-successo della legge geometrica: P(X uguale a k) vale (1 meno p) elevato a (k meno 1), per p, per interi positivi k. Restituisce anche il valore atteso E[X] uguale a uno su p, la varianza e la probabilità cumulata che il primo successo sia già avvenuto entro la prova k. Gli input sono validati in modo rigoroso: p deve stare nell'intervallo semiaperto (0, 1], e k deve essere un intero positivo entro i limiti pubblicati.

Cosa copre il modello geometrico e come si definisce la probabilità

Immagini prove di Bernoulli indipendenti che hanno successo con probabilità fissa p e falliscono con probabilità q uguale a uno meno p. Continui finché non compare il primo successo. La variabile aleatoria X è il numero di prova di quel primo successo, quindi il supporto sono gli interi positivi uno, due, tre e così via.

Esattamente un cammino produce un primo successo alla prova k: fallire nelle prime k meno uno prove, poi riuscire alla prova k. Poiché le prove sono indipendenti, quel cammino ha probabilità q elevato a (k meno uno) per p. Quell'espressione è la funzione di massa di probabilità restituita da questo calcolatore.

Il valore atteso segue dalla serie standard della legge geometrica: in media servono uno su p prove prima del primo successo, quindi un processo con p uguale a un quarto attende quattro tentativi. La varianza è q su p al quadrato, che cresce quando i successi sono rari.

La funzione di ripartizione F di k vale uno meno q elevato a k, la probabilità che il primo successo sia già avvenuto alla o prima della prova k—utile quando una policy dice «rinuncia dopo dieci tentativi» e desidera la chance di aver già avuto successo entro allora. Questa pagina usa deliberatamente la convenzione prove-fino-al-successo (supporto da uno), non quella fallimenti-prima-del-successo (supporto da zero). Entrambe compaiono in letteratura; spostano k di uno e cambiano il valore atteso da uno su p a q su p.

Demo stile moneta con p uguale a un mezzo e k piccolo si verificano facilmente a mano: per k uguale a tre ottiene (un mezzo) al quadrato per un mezzo uguale a un ottavo. I casi limite sono gestiti esplicitamente: quando p è uno, il primo successo è certo alla prova uno e impossibile dopo; quando p si avvicina a zero la massa si sparge su k grandi e il valore atteso cresce senza legame—perciò p uguale a zero viene rifiutato invece di restituire un infinito silenzioso.

Consigli pratici, limiti e differenze rispetto a strumenti correlati

Non confonda questa pagina con strumenti binomiali o contatori di combinazioni altrove nel kit: la legge binomiale conta quanti successi avvengono in un numero fisso di prove, mentre la geometrica si ferma al primo successo e tratta l'indice di prova come aleatorio. Le pagine di probabilità di somma di dadi rispondono a un'altra intenzione di ricerca—somme di facce poliedriche—, non attese di Bernoulli ripetute.

Se Le serve la parametrizzazione fallimenti-prima-del-successo, converta: il numero di fallimenti prima del primo successo è X meno uno, con valore atteso q su p; questo calcolatore mantiene la forma numero di prova perché combacia con la frase «primo successo alla prova k» nelle query di ricerca. La validazione fallita non spende mai il saldo prepagato, così gli script esplorativi possono sondare i bordi a basso costo.