Distribuição geométrica

A distribuição geométrica responde a uma pergunta simples de tentativas repetidas: se cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso p, qual a chance de o primeiro sucesso cair exatamente na tentativa k? Estudantes encontram esse modelo nos livros; analistas, em laços de retentativa, funis de vendas e checagens de qualidade. Esta capacidade avalia a forma clássica de tentativas até o primeiro sucesso da lei geométrica: P(X igual a k) é (1 menos p) elevado a (k menos 1), vezes p, para inteiros positivos k. Também devolve a esperança E[X] igual a um sobre p, a variância e a probabilidade acumulada de que o primeiro sucesso já tenha ocorrido até a tentativa k. As entradas são validadas de forma estrita: p deve estar no intervalo semiaberto (0, 1], e k deve ser um inteiro positivo dentro dos limites publicados.

O que o modelo geométrico cobre e como a probabilidade é definida

Imagine ensaios de Bernoulli independentes que têm sucesso com probabilidade fixa p e falham com probabilidade q igual a um menos p. Continue até o primeiro sucesso aparecer. A variável aleatória X é o número da tentativa desse primeiro sucesso, de modo que o suporte são os inteiros positivos um, dois, três e assim por diante.

Exatamente um caminho produz um primeiro sucesso na tentativa k: falhar nas primeiras k menos um tentativas e depois ter sucesso na tentativa k. Como as tentativas são independentes, esse caminho tem probabilidade q elevado a (k menos um) vezes p. Essa expressão é a função massa de probabilidade devolvida por esta calculadora.

A esperança segue da série padrão da lei geométrica: em média você precisa de um sobre p tentativas antes do primeiro sucesso, então um processo com p igual a um quarto espera quatro tentativas. A variância é q sobre p ao quadrado, que cresce quando sucessos são raros.

A função de distribuição acumulada F de k é um menos q elevado a k, a probabilidade de que o primeiro sucesso já tenha ocorrido na ou antes da tentativa k—útil quando uma política diz «desista após dez tentativas» e você quer a chance de já ter tido sucesso até então. Esta página usa deliberadamente a convenção de tentativas até o sucesso (suporte começa em um), não a de falhas antes do sucesso (suporte começa em zero).

Ambas aparecem na literatura; deslocam k em um e mudam a esperança de um sobre p para q sobre p. Demos no estilo cara ou coroa com p igual a um meio e k pequeno são fáceis de checar à mão: para k igual a três você obtém (um meio) ao quadrado vezes um meio igual a um oitavo.

Casos-limite são tratados de forma explícita: quando p é um, o primeiro sucesso é certo na tentativa um e impossível depois; quando p se aproxima de zero a massa se espalha sobre k grandes e a esperança cresce sem limite—por isso p igual a zero é rejeitado em vez de devolver um infinito silencioso.

Dicas práticas, limites e diferenças em relação a ferramentas relacionadas

Não confunda esta página com ferramentas binomiais ou contadores de combinações em outras partes do kit: a lei binomial conta quantos sucessos ocorrem em um número fixo de tentativas, enquanto a geométrica para no primeiro sucesso e trata o índice da tentativa como aleatório. Páginas de probabilidade de soma de dados respondem a outra intenção de busca—somas de faces poliedrais—, não esperas de Bernoulli repetidas.

Se precisar da parametrização de falhas antes do sucesso, converta: o número de falhas antes do primeiro sucesso é X menos um, com esperança q sobre p; esta calculadora mantém a forma de número da tentativa porque combina com a frase «primeiro sucesso na tentativa k» nas consultas de busca. Validação falha nunca gasta saldo pré-pago, então scripts exploratórios podem sondar bordas barato.