التوزيع الهندسي
إذا نجحت كل محاولة باحتمال 0.25، يأتي أول نجاح في المحاولة الثالثة بالضبط باحتمال 0.140625، وتحتاج في المتوسط إلى 4 محاولات. أدخل احتمال النجاح ورقم المحاولة لتحصل على القيمتين. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- القدرة (W)
- 0.25
- K
- 3
- Q
- 0.75
- الاحتمال
- 0.140625
- رقم الاحتمال
- 0.140625
- نسبة الاحتمال
- 14.0625
يجيب التوزيع الهندسي عن سؤال بسيط في التجارب المتكررة: إذا نجح كل محاولة بنفس الاحتمال p، فما فرصة أن يقع أول نجاح بالضبط في المحاولة k؟ يلتقيه الطلاب في الكتب؛ والمحللون في حلقات إعادة المحاولة ومسارات البيع وفحوصات الجودة. تقيّم هذه القدرة الشكل الكلاسيكي «محاولات حتى أول نجاح» للقانون الهندسي: P(X يساوي k) تساوي (1 ناقص p) مرفوعاً إلى (k ناقص 1) ضرب p، للأعداد الصحيحة الموجبة k. كما تعيد التوقع E[X] يساوي واحداً على p، والتباين، والاحتمال التراكمي بأن أول نجاح قد حدث بالفعل بحلول المحاولة k. تُتحقق المدخلات بصرامة: يجب أن يقع p في الفترة شبه المفتوحة (0, 1]، وأن يكون k عدداً صحيحاً موجباً ضمن الحدود المنشورة.
ما يغطيه النموذج الهندسي وكيف يُعرَّف الاحتمال
تخيّل تجارب بيرنولي مستقلة تنجح باحتمال ثابت p وتفشل باحتمال q يساوي واحداً ناقص p. استمر حتى يظهر أول نجاح. المتغير العشوائي X هو رقم المحاولة لذلك النجاح الأول، فالدعم هو الأعداد الصحيحة الموجبة واحد واثنان وثلاثة وهكذا.
مسار واحد بالضبط ينتج أول نجاح في المحاولة k: فشل في أول k ناقص واحد محاولات ثم نجاح في k. ولأن المحاولات مستقلة، لذلك المسار احتمال q مرفوعاً إلى (k ناقص واحد) ضرب p. هذا التعبير هو دالة كتلة الاحتمال التي تعيدها هذه الحاسبة.
يتبع التوقع من المتسلسلة القياسية للقانون الهندسي: في المتوسط تحتاج واحداً على p من المحاولات قبل أول نجاح، فعملية بـ p يساوي ربعاً تتوقع أربع محاولات. التباين هو q على p مربعاً وينمو عندما تكون النجاحات نادرة. دالة التوزيع التراكمية F لـ k تساوي واحداً ناقص q مرفوعاً إلى k، أي احتمال أن يكون أول نجاح قد وقع في أو قبل المحاولة k—مفيد عندما تقول سياسة «توقّف بعد عشر محاولات» وتريد فرصة النجاح بحلول ذلك.
تستخدم هذه الصفحة عمداً اتفاقية المحاولات حتى النجاح (الدعم يبدأ من واحد)، لا فشل قبل النجاح (الدعم من صفر). كلاهما في الأدبيات؛ يزحزحان k بواحد ويغيّران التوقع من 1/p إلى q/p.
نصائح عملية وحدود والاختلاف عن أدوات ذات صلة
لا تخلط هذه الصفحة مع أدوات ذات حدين أو عدّادات توافيق في أجزاء أخرى من المجموعة: القانون ذو الحدين يعدّ كم نجاحاً في عدد ثابت من المحاولات، بينما الهندسي يتوقف عند أول نجاح ويعامل فهرس المحاولة كعشوائي. صفحات احتمال مجموع النرد تجيب نية بحث أخرى—مجاميع أوجه متعددة الوجوه—لا انتظار Bernoulli متكرر. إن احتجت معلمة الفشل قبل النجاح، حوّل: عدد الإخفاقات قبل أول نجاح هو X-1 بتوقع q/p؛ تبقي هذه الحاسبة شكل رقم المحاولة لأنه يطابق عبارة «أول نجاح في المحاولة k» في الاستعلامات.
فشل التحقق لا يستهلك الرصيد المدفوع مسبقاً، فالاستكشاف رخيص.
حالات الاستخدام
تصميم إعادة المحاولة والاستطلاع
بمعدل نجاح مقدّر لكل محاولة، احسب فرصة أن يقع أول نجاح في المحاولة k ومتوسط عدد المحاولات قبل أن يجيب خدمة.
ضبط الجودة وعيّنات الفحص
نمذج فحوصات عناصر مستقلة حتى أول عيب (أو أول قبول) وأبلغ احتمال المحاولة k وعدد الفحوصات المتوقع.
الأسئلة الشائعة
أي اتفاقية هندسية تُستخدم؟
محاولات حتى أول نجاح: X هو رقم محاولة أول نجاح، لذا يبدأ k من 1 وP(X=k)=(1-p)^(k-1)*p مع E[X]=1/p.
ما قيم p المسموحة؟
يجب أن يكون p في (0, 1]: أكبر من صفر وعلى الأكثر واحد.
هل النتيجة تقريبية أم دقيقة؟
الصيغ دقيقة؛ التقييم بفاصلة عائمة يستخدم فضاء لوغاريتمياً لـ k الكبير لتبقى PMF مستقرة. لا يُستخدم أخذ عينات عشوائية.
ما احتمال أن يتحقق النجاح في المحاولة k أو قبلها؟
هذه هي القيمة التراكمية: واحد ناقص احتمال الفشل مرفوعًا إلى القوة k. مع احتمال نجاح 0.25 وحتى المحاولة الثالثة تساوي 0.578125، وهي مفيدة عندما تقضي قاعدة بالتوقف بعد عدد محدد من المحاولات.
كم محاولة نحتاج في المتوسط؟
المتوسط هو واحد مقسومًا على احتمال النجاح. مع احتمال 0.25 تحتاج إلى 4 محاولات في المتوسط، ويكون التباين 12، ويزداد التباين كلما ندر النجاح.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/prob/geometric-distribution \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":0.25,"k":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/prob/geometric-distribution", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": 0.25,
"k": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/prob/geometric-distribution",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": 0.25,
"k": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/prob/geometric-distribution", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":0.25,"k":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":0.25,"k":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/prob/geometric-distribution", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"p": 0.25,
"k": 3
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "prob.geometric_distribution",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_k | 1000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تُرفض قيم p خارج صفر إلى واحد بـ invalid_input حتى تبقى إجابات الواجبات وإعادة المحاولة في الإنتاج صادقة.
ما يغطيه النموذج الهندسي وكيف يُعرَّف الاحتمال
إن كتب كتابك P لـ Y يساوي k كـ q^k ضرب p مع k من صفر، فحوّل بجعل k هذه الأداة Y+1، أو قارن فقط p المشترك وصيغة PMF المطبوعة في JSON. عروض أسلوب العملة بـ p=1/2 وk صغير سهلة التحقق يدوياً: لـ k=3 تحصل على (1/2)²×(1/2)=1/8. تُعالَج الحواف صراحة: عندما p=1 يكون أول نجاح مؤكداً في المحاولة 1 ومستحيلاً بعدها؛ عندما يقترب p من صفر تنتشر الكتلة على k كبير وينمو التوقع بلا حد—لذا يُرفض p=0 بدل إرجاع لانهاية صامتة.
كيفية استدعاء API وقراءة استجابة JSON
يجب أن يكون عدداً متناهياً أكبر من صفر على الأكثر واحد. يجب أن يكون k عدداً صحيحاً من 1 إلى مليون. سلسلتا صيغة توثّقان الاتفاقية لتعرّض الواجهات اللاحقة نفس التعريف الذي بحث عنه الناس. أرسل جسم JSON بحقلين مطلوبين. الحقل p هو احتمال النجاح في كل محاولة؛ تُقبل الأسماء البديلة probability وsuccess_p وprob. الحقل k هو فهرس المحاولة لأول نجاح يهمك؛ trial وn وtrials بنفس المعنى. الاستجابة الناجحة تعيد p وk المعيّرين، واحتمال الفشل q، وPMF كسلسلة عشرية مقصوصة (probability) ومزدوجة IEEE (probability_number) بالإضافة إلى نسبة مئوية. كما تعيد expected_trials كـ 1/p، وvariance كـ q/p²، وCDF عند k كـ cdf وcdf_number. تحقق كلاسيكي: p=0.25 وk=3 يعطيان احتمالاً 0.140625 وتجارب متوقعة 4 وتبايناً 12. تحقق آخر: p=1 وk=1 يعطيان احتمالاً 1 وتجارب متوقعة 1؛ نفس p مع k=2 يعطي احتمالاً 0. إن كان p سالباً أو أكبر من 1 أو صفراً بالضبط، أو كان k مفقوداً أو كسرياً أو دون 1، يُطلق المعالج invalid_input برسالة تسمّي الحقل—ولا تُحسب تلك الإخفاقات. التسعير ثابت $0.002 لكل طلب ناجح بوحدة item وسعر هامشي صفري. فضّل probability (سلسلة) لأرقام عرض مستقرة؛ وprobability_number عند سلسلة رياضيات فاصلة عائمة في سكربت عميل.
نصائح عملية وحدود والاختلاف عن أدوات ذات صلة
ابقَ k على الأكثر مليوناً لتبقى تقييم PMF في فضاء لوغاريتمي رخيصاً في Worker والمتصفح. لعروض الصف فضّل أزواجاً صغيرة من الكتاب—p=1/2 مع k من 1 إلى 5، أو p=1/10 مع k=10—ليوسّع الطلاب (1-p)^(k-1) يدوياً ويطابقوا API سطراً بسطر. عند نمذجة إعادة محاولة البرمجيات، اربط «رقم المحاولة» بـ k ومعدل النجاح المرصود بـ p؛ يخبرك expected_trials بمتوسط المحاولات قبل أن يجيب طرف سليم، وCDF بمدى إنهاءك ضمن حد محاولات مُيزَن. فضّل حقول الصيغة المطبوعة عند توثيق حلول الواجبات، وفضّل expected_trials على معكوسات مرتجلة لـ p في جدول ليشارك الفريق نفس تعريف متوسط الانتظار.
حالات التكامل
واجبات ومختبرات تعليم الاحتمال
كلّف بتمارين PMF وتوقع هندسيين ودع الطلاب يتحققون من P(X=k) وE[X]=1/p مقابل نتيجة حتمية من API أو المتصفح المجاني.
أسئلة تقنية
ماذا يعني expected_trials؟
هو E[X]=1/p، متوسط عدد المحاولات المستقلة اللازمة حتى أول نجاح تحت هذا النموذج الهندسي.
هل حاسبة التوزيع الهندسي مجانية؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محلياً. استدعاءات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقاً بـ $0.002 لكل طلب ناجح؛ المهام الفاشلة لا تُحسب أبداً.