Calculatrice CDF normale

La fonction de répartition normale répond à une question qui revient dans chaque cours de statistique et dans de nombreux pipelines de production : pour une valeur x issue d'une gaussienne de moyenne et d'écart-type connus, quelle fraction de la distribution se situe à ou en dessous de cette valeur ? La réponse s'écrit Φ(z) après standardisation de l'observation en score z, et c'est le même nombre que l'on lit dans les tables normales imprimées pour noter des examens, dimensionner des expériences A/B ou fixer des limites de contrôle de processus. Ce calculateur prend un x fini, une moyenne μ et un écart-type σ strictement positif, forme z égal à x moins μ sur σ, et renvoie la probabilité cumulée, sa forme en pourcentage et la queue supérieure complémentaire. Un σ non positif échoue avec une erreur de validation claire car une échelle nulle ou négative ne définit pas une loi normale.

Comment la CDF normale est calculée à partir de x, de la moyenne et de σ

Partez d'une observation brute x et d'une loi normale de référence N(μ, σ²). Soustrayez la moyenne de l'observation et divisez par l'écart-type pour obtenir le score standardisé z égal à (x moins μ) divisé par σ. Ce seul nombre place x sur l'échelle unitaire où la moyenne est zéro et la dispersion est un, exactement l'échelle de toute table normale standard.

La probabilité cumulée est alors l'aire sous la densité normale standard de moins l'infini jusqu'à z, écrite Φ(z) ou P(Z ≤ z). Algébriquement cela égale un demi multiplié par un plus la fonction d'erreur de z sur la racine carrée de deux, car l'intégrale gaussienne est la même fonction spéciale que dans les équations de diffusion et de la chaleur.

Cette capacité évalue cette expression avec une approximation rationnelle classique d'Abramowitz et Stegun de la fonction d'erreur, précise à environ une partie pour dix millions pour des entrées flottantes ordinaires—largement suffisante pour les exercices de manuel, les bilans de scores et les seuils d'ingénierie. Les queues extrêmes avec |z| au moins huit sont ramenées à zéro ou un pour que le sous-dépassement ne laisse jamais une valeur légèrement hors de l'intervalle unitaire.

Le cas particulier d'un écart-type non positif est rejeté : lorsque σ est nul ou négatif il n'y a pas de densité normale propre, et la probabilité cumulée est indéfinie plutôt qu'un nombre que vous pourriez stocker ou noter en toute sécurité.

Contrat d'entrée, forme de la réponse et comportement d'erreur

Un écart-type nul ou négatif échoue avec un message indiquant que la CDF normale est indéfinie lorsque σ n'est pas strictement positif ; ces échecs de validation ne sont pas facturés.

En cas de succès le corps renvoie x, mean et std nettoyés, z comme score standardisé, cdf comme probabilité cumulée dans l'intervalle unitaire fermé, percent comme cdf multiplié par cent pour un affichage de type table, survival comme un moins cdf pour la queue supérieure complémentaire P(X supérieur à x), et une chaîne de formule rappelant Φ(z) égal à P(X ≤ x) avec z égal à (x − μ) sur σ.

Les contrôles classiques incluent la normale standard en x égal à zéro, qui donne cdf égal à un demi, et la valeur critique bilatérale près de un point neuf six sous moyenne zéro et σ unitaire, qui donne une probabilité cumulée près de zéro point neuf sept cinq. Branchez le formulaire gratuit du navigateur pour les devoirs et les contrôles rapides, puis appelez le même contrat depuis des scripts pour une évaluation en masse de notes de coupure ou de limites de processus.

Où un calculateur de CDF normale intervient dans le travail réel

La psychométrie et les admissions projettent des scores bruts en rangs cumulés lorsque les formes partagent une moyenne et un sigma publiés. Le contrôle qualité et le suivi de processus convertissent des seuils de capteurs en probabilités cumulées face à une moyenne et un sigma de processus afin d'aligner les limites d'ingénierie sur une masse de queue connue plutôt que sur des coupures brutes ad hoc.

L'analytique produit et les outils A/B ont souvent besoin de l'aire normale unilatérale ou bilatérale pour des croquis de puissance et des contrôles de valeur critique avant des simulations plus lourdes. La finance et le risque expriment de simples seuils de résidus ou de rendements comme probabilités cumulées sous un modèle normal de travail pour des synthèses de stress.

Si vous avez ensuite besoin de la CDF inverse (quantile ou probit), d'un simple z-score sans probabilité, de CDF de Student ou du chi-deux, ou de statistiques descriptives complètes pour chaque colonne CSV, traitez-les comme des intentions de recherche et des pages distinctes plutôt que de surcharger cette page de calculateur de CDF de la loi normale.