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正規分布CDF計算

xが平均と等しいとき、たとえば標準正規分布の0では、累積確率は0.5で、曲線の半分がその左側にあります。x、平均、標準偏差からΦ、百分率、上側確率を求めます。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

X: 0
平均: 0
Std: 1

結果

Z: 0
Cdf: 0.5
パーセント: 50
生存: 0.5

正規分布の累積分布関数は、統計の授業でも本番パイプラインでも繰り返し現れる問いに答えます。平均と標準偏差が既知のガウス分布から取った値 x について、その値以下に分布のどれだけの割合が載るのか、という問いです。観測を z スコアに標準化したあと答えは Φ(z) と書かれ、試験の採点、A/B 実験の設計、工程管理限界の設定で印刷された正規表から引くのと同じ数値です。本計算機は有限の x、平均 μ、および厳密に正の標準偏差 σ を受け取り、z を (x − μ) / σ として形成し、累積確率・百分率・相補上側裾を返します。σ が正でない場合は、零または負の尺度が正規法則を定義しないため、明確な検証エラーで失敗します。

x・平均・σ から正規 CDF を計算する方法

生の観測 x と参照正規法則 N(μ, σ²) から始めます。観測から平均を引き、標準偏差で割って標準化スコア z = (x − μ) / σ を得ます。この一つの数が、平均が零・広がりの単位が一の単位スケール上に x を置き、あらゆる標準正規表と同じ尺度になります。

累積確率は標準正規密度の下で −∞ から z までの面積であり、Φ(z) または P(Z ≤ z) と書きます。代数的には z を √2 で割った値の誤差関数に一を足して半分を掛けたものに等しく、ガウス積分は拡散や熱方程式に現れるのと同じ特殊関数だからです。

本機能は誤差関数への古典的な Abramowitz and Stegun 有理近似でその式を評価し、通常の浮動小数点入力に対しておよそ千万分の一程度の精度があり、教科書演習・スコア報告・工学しきい値には十分です。|z| が八以上の極端な裾は零または一にクランプし、アンダーフローが単位区間のわずかに外側の値を残さないようにします。

標準偏差が正でない特別な場合は拒否されます。σ が零または負のとき固有の正規密度はなく、安全に保存・採点できる数ではなく累積確率は未定義です。

正規 CDF 計算機が実務で使われる場面

心理測定と入試は、公開された平均と sigma を共有するフォームで生得点を累積順位に写像します。品質管理と工程監視は、センサーしきい値を工程平均と sigma に対する累積確率へ変換し、場当たり的な生の切断ではなく既知の裾質量に工学限界を合わせます。

プロダクト分析と A/B ツールは、重いシミュレーションの前に片側・両側の正規面積をパワー概算や臨界値確認にしばしば必要とします。金融とリスクは、ストレス要約のため正規の作業モデルの下で残差や収益の単純なしきい値を累積確率として表現します。

あとで逆 CDF（分位点・プロビット）、確率なしの純粋な z スコア、t やカイ二乗の CDF、CSV 各列の完全な記述統計が必要なら、この正規分布 CDF 計算機ページを過負荷にせず、別の検索意図とランディングとして扱ってください。

活用例

試験得点を累積順位に変換する

テストの平均と標準偏差から、生得点を正規の累積確率と百分率順位に直し、報告や採点に使います。

臨界値と裾の質量を確認する

両側検定や単純な A/B しきい値の設計時に、選んだ平均と σ の下で Φ(1.96) など z の切断を評価します。

工程限界を確率に写像する

既知の工程平均と正の sigma の下で、センサーや工程のしきい値を P(X ≤ x) として管理図や品質レビューに使います。

よくある質問

正規 CDF の公式は何ですか？

z = (x − μ) / σ で標準化し、Φ(z) = P(X ≤ x) = ½ (1 + erf(z / √2)) とします。結果は正規曲線の −∞ から x までの面積です。

標準偏差が零または負だとどうなりますか？

正規分布は σ > 0 を要し、尺度が正でないとき累積確率は未定義です。

z スコア計算機との違いは何ですか？

z スコアは x が平均から標準偏差何個分かだけを示します。本計算機はさらに進み、累積確率 Φ(z) と percent・survival の関連値を返します。

標準正規（平均 0、σ = 1）は使えますか？

はい。 mean を 0、std を 1 にして有限の任意の x を送ってください。

上側確率とは何ですか？

値がxより大きくなる確率で、1から累積確率を引いたものです。計算機が一緒に表示するので、右側の裾の確率を自分で引き算する必要はありません。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/stat/normal-cdf

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/normal-cdf \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"x":1.96,"mean":0,"std":1}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/normal-cdf", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "x": 1.96,
    "mean": 0,
    "std": 1
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/stat/normal-cdf",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "x": 1.96,
    "mean": 0,
    "std": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/normal-cdf", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"x":1.96,"mean":0,"std":1}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"x":1.96,"mean":0,"std":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/normal-cdf", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "x": 1.96,
  "mean": 0,
  "std": 1
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "stat.normal_cdf",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

無料のブラウザツールと有料 API は同一の純粋な同型関数を共有するため、宿題の確認と自動化が同じ入力で食い違うことはありません。

x・平均・σ から正規 CDF を計算する方法

各段は乱数シード・壁時計タイムスタンプ・ネットワーク呼び出しのない決定的な浮動小数点演算なので、同一入力は常に同一の JSON を生みます。

入力契約・応答形・エラーの扱い

x は観測、mean は正規分布の中心 μ、std は正の標準偏差 σ です。零または負の標準偏差は、σ が零より大きくないとき正規 CDF が未定義である旨のメッセージで失敗し、それらの検証失敗は課金されません。古典的な確認例には、x が零の標準正規で cdf が二分の一になる場合や、平均零・単位 σ で 1.96 付近の両側臨界値で累積確率が約 0.975 になる場合があります。宿題と迅速な健全性確認には無料のブラウザフォームを、カットスコアや工程限界の一括評価にはスクリプトから同一契約を呼び出してください。必須の有限数三つを JSON 本体で POST してください。フィールド std は別名 sd・standard_deviation・sigma も受け付け、教室の言い回しと API 名のどちらでも単一キーを強要しません。欠落フィールド・空文字・非数値トークン・NaN・Infinity はフィールド名を付けた invalid_input で失敗します。成功時は整形済みの x・mean・std をエコーし、標準化スコア z、閉単位区間の累積確率 cdf、表形式表示向けに cdf を百倍した percent、相補上側裾 P(X > x) としての survival = 1 − cdf、および Φ(z) = P(X ≤ x) と z = (x − μ) / σ を再掲する formula 文字列を返します。成功した API 呼び出しの料金は公開ベースの $0.002/件で、検証失敗は前払い残高を消費しません。

正規 CDF 計算機が実務で使われる場面

中等・大学の統計では経験則の設問、z が 1・2・3 の表引き、正規曲線を仮定した試験得点のパーセンタイル変換が絶えず出題され、整形済み JSON を返す信頼できる単一のオラクルは採点とデモ準備を速めます。本機能は純粋な parse エンジンのため、API 料金は成功 1 件あたり公開ベースの $0.002 であり、検証失敗は残高を消費しません。

技術的な質問

料金はいくらですか？

ブラウザツールは無料でローカル実行です。API リクエストは成功 1 件あたり $0.002 の KIT 前払い残高を使い、無効入力は課金されません。

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正規分布CDF計算

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x・平均・σ から正規 CDF を計算する方法

正規 CDF 計算機が実務で使われる場面

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臨界値と裾の質量を確認する

工程限界を確率に写像する

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x・平均・σ から正規 CDF を計算する方法

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