正規分布の計算
標準正規分布の0での確率密度は約0.3989で、釣り鐘の頂上の高さです。密度か累積確率を選び、値、平均、標準偏差を入れると、zスコアと一緒に結果が出ます。ブラウザで無料で使えます。
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- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 値
- 0
- 平均
- 0
- Std
- 1
- 関数
- Z
- 0
- PDFファイル
- 0.3989422804
正規分布は、試験の得点、測定誤差、工程管理、そして多くの小さな独立な効果が足し合わさる場面に現れる釣鐘型のガウス法則です。曲線を決める数は二つです。頂点に座る平均 μ と、幅を伸ばしたり縮めたりする標準偏差 σ です。これらの母数が分かると、絶えず二つの異なる問いが現れます。確率密度関数（PDF）は、選んだ値 x に確率がどれだけ濃く載るか、すなわち釣鐘の高さを答えます。累積分布関数（CDF）は、x 以下にどれだけの確率があるか、すなわち負の無限大からその点までの面積を答えます。本計算機は有限の値・平均・正の標準偏差と、pdf または cdf の関数選択を受け取り、対応する数値と標準化した z スコアを返します。標準偏差がゼロのときは、尺度が潰れてガウス分布が定義されないため拒否します。
正規分布のPDFとCDFの意味、および z が両者をつなぐ仕組み
正規法則 N(μ, σ²) は中心と尺度だけで完全に決まります。平均 μ は頂点の位置であり対称の中心です。標準偏差 σ は正の幅です。
σ が大きいほど釣鐘は低く広くなり、小さいほど質量は平均のまわりに集まります。送信する値は、同じ数直線上の点 x です。まず標準化します。 z は (x マイナス μ) を σ で割った値です。
この一つのスコアが、x が平均から何標準偏差離れているかを示し、印刷された正規表や経験則 68-95-99.7 と同じ言葉になります。PDF は φ(x) と書き、x における曲線の高さです。閉形式は、σ かける 2π の平方根の逆数に、e のマイナス二分の一 z の二乗を掛けたものです。
密度そのものは確率ではありません。x の単位あたりの確率なので、σ が小さいときは 1 を超えることがあります。CDF は Φ(z) と書き、負の無限大から x までの同じ曲線の下の面積であり、二分の一かける（1 プラス z を √2 で割った誤差関数）に等しいです。
百分位順位、左裾確率、あるいは P(X ≤ x) が必要なときに CDF を引きます。高さが必要なら function に pdf を、累積面積が必要なら function に cdf を選んでください。どちらも同じ z を共有するので、平均とシグマをやり直さずに切替えられます。
正規分布の計算、ガウス PDF、正規 CDF といった検索語がここに着くのは、三つの数は同じで、尋ねる関数だけが違うからです。
入力契約、数式、応答の形、および誤り時の振る舞い
value は観測 x で有限の数です。教科書どおりの名前がよければ別名 x も受け付けます。mean は有限の中心 μ です。
別名 mu も受け付けます。std は標準偏差 σ で、ゼロより大きい有限数でなければなりません。function は必須で、ちょうど pdf または cdf でなければなりません。
閉じた列挙であり自由文ではないので、フォームは選択欄を描き、呼び出し側が第三のモードを作れません。標準偏差がゼロなら、σ がゼロのとき正規分布は未定義であるというメッセージで失敗します。σ で割ることと密度を作ることの両方が潰れるからです。
負の標準偏差も同じように拒否します。尺度は正の幅であり、符号付きの量ではないからです。これらの検証失敗は課金されません。
平均ゼロ・単位 σ のもとで 1.96 付近の両側臨界値は、累積確率がおよそ 0.975 になります。実行環境をまたいで基準例が安定するよう、数値は有効数字十二桁に丸めます。検証失敗は前払い残高を消費しません。
正規分布の計算機が役立つ場面
正規分布の計算機に対する検索意図は、CDF 専用ページや z スコア用具よりも広いです。生徒と教員は、この得点での釣鐘の高さと、この得点以下にクラスのどれだけが載るかの両方を、二つの異なるランディングを開かずに答えられる一つの箱を求めます。
試験対策ジェネレータや学習管理の拡張は、同じ平均とシグマを共有する密度問題と累積問題のための決定論的な正解器を必要とします。品質技術者は、規格限界を、工程平均とシグマのもとでの限界点の密度、または左裾確率に変換します。プロダクト分析は、誰かがシミュレーションを回す前に、しきい値のための単純な正規の作業モデルをスケッチします。
心理測定は生得点を累積順位に写し、より少なくは項目情報の式で使う密度にも写します。金融ノートは、残差や収益水準を、作業用正規モデルのもとでのガウス密度または P(X ≤ x) として表します。このページは汎用のガウス用ランディングです。
逆 CDF（分位点やプロビット）でも、t やカイ二乗の計算機でも、z だけを標準化する用具でもありません。それらは別の検索です。 Φ(x) だけが欲しい人向けの CDF 専用の姉妹計算機は別にあります。この能力があるのは、密度そのものと、組み合わせた正規分布の計算機も検索されるからです。
検証失敗は残高を消費しません。
活用例
教室での密度と百分位の確認
生徒に得点・クラス平均・シグマを送らせ、同じ z のうえで function を pdf（釣鐘の高さ）と cdf（左裾の順位）の間で切り替えてください。
試験と LMS の自動採点
密度を捏造せずゼロの標準偏差を拒否する決定論的な正解器で、ガウス PDF と CDF の設問を採点します。
工程限界と簡単なリスクの下描き
既知の工程平均と正のシグマのもとで、規格やしきい値を統計ライブラリなしに φ(x) または P(X ≤ x) へ変換します。
よくある質問
正規分布のPDFとCDFの違いは何ですか？
PDF φ(x) は x における釣鐘の高さ（確率密度であり確率そのものではありません）。CDF Φ(x) は −∞ から x までの面積で P(X ≤ x) に等しいです。必要に応じて function に pdf または cdf を選んでください。
標準偏差がゼロだとどうなりますか？
正規分布は σ > 0 を必要とし、尺度がゼロのとき密度と z スコアは未定義です。
計算機はどの公式を使いますか？
どちらの経路も z = (x − μ) / σ から始まります。PDF は 1/(σ√(2π)) · exp(−½z²) です。CDF は ½ (1 + erf(z / √2)) で、古典的な誤差関数の近似で評価します。
標準正規分布をどう評価しますか？
0 での function pdf はおよそ 0.3989、0 での function cdf は 0.5、1.96 付近の function cdf はおよそ 0.975 です。
正規分布の計算機の料金はいくらですか？
ブラウザ用具は無料で、お使いの端末で動きます。無効な入力は課金されません。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/normal-distribution \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"value":0,"mean":0,"std":1,"function":"pdf"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/normal-distribution", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"value": 0,
"mean": 0,
"std": 1,
"function": "pdf"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/normal-distribution",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"value": 0,
"mean": 0,
"std": 1,
"function": "pdf"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/normal-distribution", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"value":0,"mean":0,"std":1,"function":"pdf"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"value":0,"mean":0,"std":1,"function":"pdf"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/normal-distribution", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"value": 0,
"mean": 0,
"std": 1,
"function": "pdf"
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.normal_distribution",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
入力契約、数式、応答の形、および誤り時の振る舞い
四つの欄を持つ JSON 本体を POST してください。教室の言い回しと API の名前がどちらも通るよう、別名 sd、standard_deviation、sigma を受け付けます。欠けた欄、空文字、NaN、Infinity は、欄名を付けた invalid_input で失敗します。成功時は、整えた value・mean・std を返し、z を (value − mean) / std として返し、選んだ function を繰り返し、pdf（密度）または cdf（閉じた単位区間の累積確率）のいずれかと短い数式文字列を含めます。典型確認は、value ゼロの標準正規で function が pdf のとき、密度が 2π の平方根の逆数、およそ 0.3989 になること、同じ入力で function が cdf なら二分の一になることです。成功した API 呼び出しの料金は、公開されている一件あたり $0.002 の基本料金です。
正規分布の計算機が役立つ場面
pdf または cdf を選び、value・mean・正の標準偏差を送り、安定した JSON の答えを得てください。実装は純粋な parse のティア A なので、成功した呼び出しは毎回、モデルのトークンも外向きの通信もなく、公開されている基本料金 $0.002 です。