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チェビシェフの定理

分散が有限なら、どんなデータでも少なくとも75パーセントが平均から2標準偏差以内に入ります。釣り鐘型である必要はありません。標準偏差の数を入力すると、内側に入る保証された割合と、外側に出うる最大の割合が分かります。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

K: 2

結果

比: 0.75
パーセント: 75
範囲外の割合: 0.25

チェビシェフの定理（ビエナメ–チェビシェフの不等式）は、データのうち平均の近くになければならない割合の、分布を仮定しない下界を与えます。有限の平均と有限の正の標準偏差を持つ実数値の集まりについて、k が1より真に大きいとき、観測のうち少なくとも「1引き1をkの2乗で割った値」が平均からk標準偏差以内に入ります。釣鐘型の正規曲線を仮定する経験則とは異なり、この下界は分散を持つあらゆる分布に成り立ち、歪んだ標本、多峰の標本、裾の重い標本も含みます。古典的な主張がその境界では空になるためです。

チェビシェフの定理が述べることと、下界の求め方

チェビシェフの定理は、数値の集まりが平均のまわりにどれだけ固まらねばならないかについての、分布を仮定しない保証です。平均を mu、有限の正の標準偏差を sigma と書きます。

1より真に大きい任意の実数 k について、mu マイナス k sigma から mu プラス k sigma までの閉区間に入る観測の割合は、少なくとも1引き1をkの2乗で割った値です。同等に、平均からk標準偏差以上離れてよい割合は、高々1をkの2乗で割った値です。

証明は、X の mu からの二乗偏差にマルコフの不等式を当てた一行の帰結であり、正規性・対称性・単峰性は一切要りません。だから宿題の用紙は、釣鐘を先に検定せずとも、試験点、待ち時間、工場の測定に同じ下界を使えます。教室の定番値はすぐ出ます。

k が2なら平均から2標準偏差以内に少なくとも4分の3、k が3なら少なくとも9分の8、およそ88.8パーセントです。k が上から1に近づくと下界は0へ崩れ、情報を失います。そのため本計算機は、非正の割合を返す代わりに k が1以下を拒否します。

式は閉じて決定的です。表引きも乱数シードもなく、k が分かれば元の標本にも依存しません。

チェビシェフ計算機が役立つ場面と、しないこと

高校・大学の統計では、平均から2、2.5、3標準偏差以内に入るデータの最小百分率を問うチェビシェフ演習が絶えず出ます。工程に平均と分散はあるが正規とは限らないとき、品質管理チームはこの下界を使い、kシグマの窓の中の保守的な出来高を述べられます。

リスクや保険のノートは、経験則の68–95–99.7が過大に約束してしまう歪んだ損失や裾の重い分布に、同じ不等式を当てます。あとで正規仮定の経験則、生の一点の z スコア、列の五数要約が必要なら、このチェビシェフの頁を膨らませず、別の検索意図と着地として扱ってください。限界は意図的です。密度は当てず、p値は返さず、形の追加仮定で下界を締めません。

分散を持つあらゆる分布になお成り立つ、いちばん弱い保証が正直な答えであるときに使ってください。

活用例

教室のチェビシェフ演習

学習者に k を送らせ、平均から k 標準偏差以内に入る保証された最小百分率を教科書の表と照合します。

保守的な工程の窓

平均と分散はあるが正規とは限らない工程で、kシグマ帯の中の出来高を分布仮定なしに述べます。

裾の重いリスクの下界

経験則が平均付近の質量を過大に言う歪んだ損失や待ち時間に、チェビシェフを当てます。

よくある質問

チェビシェフの定理とは何ですか？

有限の平均と有限の正の標準偏差を持つ任意のデータについて、k > 1 のとき少なくとも 1 − 1/k² の値が平均から k 標準偏差以内に入ります。下界は正規曲線を仮定しません。

なぜ k は1より大きくなければならないのですか？

k が1以下だと 1 − 1/k² は0以下になり、不等式は役立つことを言いません。

経験則とは何が違いますか？

経験則 68–95–99.7 はほぼ正規の分布を仮定します。チェビシェフの下界は弱いですが、分散を持つあらゆる分布に成り立ち、歪んだ標本や裾の重い標本も含みます。

計算機は何を返しますか？

k、最小割合 1 − 1/k²、その百分率、外側の相補天井 1/k²、式の文字列を返します。生の一覧から平均や sigma は推定しません。

3標準偏差以内には少なくとも何パーセント入りますか？

少なくとも9分の8、つまり88.8パーセント余りです。正規分布ならほぼすべてが入りますが、この下限は偏った分布や山が複数ある分布でも成り立ちます。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"k":2}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "k": 2
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "k": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"k":2}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "k": 2
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "stat.chebyshevs_theorem",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

本計算機は一つの k を受け取り、閉じた式を適用し、保証される最小割合を構造化 JSON で返します。k が1以下の要求は invalid_input で失敗します。

入力契約、応答の形、誤りの扱い

k は平均からの標準偏差の個数です。定理の定義上の制約は硬い検査として実装されています。k は1より真に大きくなければなりません。1、2分の1のような分数、0、負の個数を送ると、k は1より大きくなければならないというメッセージで失敗し、それらは課金されません。k が3なら proportion は9分の8です。端点は生の一覧を取り込まず、mu も sigma も推定しません。それらは統計の兄弟能力が担う別の検索意図です。必須の有限数 k を一つ入れた JSON 本体を POST してください。欄は別名 k_sigma、deviations、std_devs も受け付け、教室の言い方と API の名前の両方が使えます。各値は JSON 数値でも数値文字列でも構いません。欠落、空文字、NaN、Infinity は k を指名して invalid_input になります。成功時は整えた k を返し、proportion を1引き1をkの2乗で割った値、percent をその100倍、outside_proportion を相補の天井である1をkの2乗で割った値とし、計算を数字の横に残せるよう式の文字列を再掲します。例として k が2なら proportion は0.75、percent は75、outside_proportion は0.25です。宿題の一回確認には無料のブラウザフォームを、多くの k を同じ安定した JSON 形で扱うときはスクリプトから同一契約を呼んでください。

チェビシェフ計算機が役立つ場面と、しないこと

きれいな JSON を返す一つの信頼できる神託は、丸めの口論なしに採点と演示の準備を速めます。本能力は純粋な parse エンジンなので、API 料金は成功1件あたり公表の $0.002 であり、検証失敗は残高を使いません。

技術的な質問

チェビシェフの定理計算機の料金はいくらですか。

ブラウザの道具は無料で、手元で動きます。API 要求は成功1件あたり $0.002 の KIT 前払い残高を使い、不正な入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

チェビシェフの定理

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計算例

チェビシェフの定理が述べることと、下界の求め方

チェビシェフ計算機が役立つ場面と、しないこと

活用例

教室のチェビシェフ演習

保守的な工程の窓

裾の重いリスクの下界

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

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技術的な注記

入力契約、応答の形、誤りの扱い

チェビシェフ計算機が役立つ場面と、しないこと

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