Teorema de Tchebychev
Pelo menos 75% de qualquer conjunto de dados com variância finita fica a até 2 desvios padrão da média, tenha ou não forma de sino. Informe quantos desvios interessam e veja a parte garantida dentro e o máximo que pode ficar fora. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- K
- 2
- Proporção
- 0,75
- Porcentagem
- 75
- Proporção externa
- 0,25
O teorema de Tchebychev, também chamado desigualdade de Bienaymé-Tchebychev, dá um limite inferior livre de distribuição sobre quanto de um conjunto precisa ficar perto da média. Para qualquer coleção de valores reais com média finita e desvio padrão finito e positivo, pelo menos um menos um sobre k ao quadrado das observações cai dentro de k desvios padrão da média, sempre que k for estritamente maior que um. Ao contrário da regra empírica, que assume uma curva aproximadamente normal em forma de sino, o limite de Tchebychev vale para toda distribuição que tenha variância, inclusive amostras enviesadas, multimodais e de caudas pesadas.
O que o teorema de Tchebychev afirma e como o limite é calculado
O teorema de Tchebychev é uma garantia livre de distribuição sobre o quão apertado um conjunto de números precisa se agrupar em torno da média. Escreva mu para a média e sigma para um desvio padrão finito e positivo. Para todo k real estritamente maior que um, o teorema afirma que a proporção de observações que caem no intervalo fechado de mu menos k sigma até mu mais k sigma é pelo menos um menos um sobre k ao quadrado.
De modo equivalente, a proporção que pode ficar a k ou mais desvios padrão da média é no máximo um sobre k ao quadrado. A prova é uma consequência de uma linha da desigualdade de Markov aplicada ao desvio ao quadrado de X em relação a mu, de modo que o resultado nunca exige normalidade, simetria nem unimodalidade. Por isso uma folha de deveres pode aplicar o mesmo limite a notas de prova, tempos de espera ou medições de fábrica sem testar primeiro uma curva em sino.
Os valores clássicos de sala são imediatos: k igual a dois produz pelo menos três quartos dos dados dentro de dois desvios padrão da média; k igual a três produz pelo menos oito nonos, um pouco mais de oitenta e oito vírgula oito por cento. Quando k se aproxima de um por cima, o limite desaba rumo a zero e deixa de informar, razão pela qual esta calculadora rejeita k menor ou igual a um em vez de devolver uma proporção não positiva.
A fórmula é fechada e determinística: não há consulta a tabela, nem semente aleatória, nem dependência da amostra original depois que k é conhecido.
Onde uma calculadora de Tchebychev se paga e o que ela não fará
Equipes de controle de qualidade usam o limite quando um processo tem média e variância conhecidas, mas não se sabe normal, de modo que ainda podem afirmar uma fatia conservadora da saída dentro de uma janela de k sigma. Cadernos de risco e seguros aplicam a mesma desigualdade a distribuições de perda enviesadas ou de caudas pesadas, em que a regra empírica sessenta e oito noventa e cinco noventa e nove vírgula sete prometiria demais.
Se mais adiante você precisar da regra empírica sob hipótese normal, de um escore z de um valor bruto ou de um resumo de cinco números de uma coluna, trate-os como intenções de busca e páginas distintas em vez de sobrecarregar esta página de Tchebychev. Os limites são de propósito: a calculadora não ajusta uma densidade, não devolve um valor-p e não aperta o limite com hipóteses extras de forma. Use-a quando a resposta honesta for a garantia mais fraca que ainda vale para toda distribuição com variância.
Casos de uso
Exercícios escolares de Tchebychev
Peça que a turma envie k e confira o percentual mínimo garantido dentro de k desvios padrão da média contra as tabelas do livro.
Janelas conservadoras de processo
Afirme uma fatia de saída livre de distribuição dentro de uma faixa de k sigma quando o processo tem média e variância, mas não se sabe normal.
Limites de risco de caudas pesadas
Aplique Tchebychev a perdas ou tempos de espera enviesados, em que a regra empírica superestimaria quanta massa fica perto da média.
Perguntas frequentes
O que é o teorema de Tchebychev?
Para qualquer conjunto com média finita e desvio padrão finito e positivo, pelo menos 1 − 1/k² dos valores ficam dentro de k desvios padrão da média quando k > 1. O limite não assume uma curva normal.
Por que k precisa ser maior que um?
Quando k vale um ou menos, 1 − 1/k² é zero ou negativo, de modo que a desigualdade não diz nada útil.
Em que isso difere da regra empírica?
A regra empírica 68–95–99.7 assume uma distribuição aproximadamente normal. O limite de Tchebychev é mais fraco, mas vale para toda distribuição que tenha variância, inclusive amostras enviesadas e de caudas pesadas.
O que a calculadora devolve?
Devolve k, a proporção mínima 1 − 1/k², essa proporção em porcentagem, o teto complementar externo 1/k² e a string da fórmula. Não estima média nem sigma a partir de uma lista bruta.
Quanto custa a calculadora do teorema de Tchebychev?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"k":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"k": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"k": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"k":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"k": 2
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.chebyshevs_theorem",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Esta calculadora aceita um único k, aplica a fórmula fechada e devolve a proporção mínima garantida como JSON estruturado. Pedidos com k menor ou igual a um falham com invalid_input, porque o enunciado clássico é vazio nesse limite.
Contrato de entrada, forma da resposta e comportamento de erro
A restrição definidora do teorema é codificada como checagem dura: k deve ser estritamente maior que um. Enviar um, uma fração como um meio, zero ou uma contagem negativa falha com uma mensagem de que k deve ser maior que um, e essas falhas não são cobradas. Exemplo: k igual a três produz proportion oito nonos. Envie um corpo JSON com um único número finito obrigatório k, o número de desvios padrão em relação à média. O campo também aceita os aliases k_sigma, deviations e std_devs, de modo que a linguagem de sala e a de API funcionam ambas. Cada valor pode chegar como número JSON ou como string numérica; campos ausentes, strings vazias, NaN e Infinity falham com invalid_input nomeando k. Em sucesso o corpo ecoa o k limpo, devolve proportion como um menos um sobre k ao quadrado, devolve percent como cem vezes essa proporção, devolve outside_proportion como o teto complementar de Tchebychev um sobre k ao quadrado, e reescreve a string da fórmula para que uma folha mostre a conta ao lado do número. Exemplo: k igual a dois produz proportion zero vírgula setenta e cinco, percent setenta e cinco e outside_proportion zero vírgula vinte e cinco. O endpoint não ingere uma lista bruta e não estima mu nem sigma; essas são intenções de busca distintas cobertas por capacidades irmãs de estatística. Conecte o formulário gratuito do navegador para uma única checagem de dever e depois chame o contrato idêntico a partir de scripts quando você precisar de muitos valores de k sob uma mesma forma JSON estável.
Onde uma calculadora de Tchebychev se paga e o que ela não fará
Cursos de estatística do ensino médio e da faculdade passam sem parar exercícios de Tchebychev que pedem o percentual mínimo de dados dentro de dois, dois e meio ou três desvios padrão da média; um único oráculo confiável que devolve JSON limpo acelera a correção e a montagem de demonstrações sem discutir arredondamento. Como esta capacidade é um motor parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.