Calculadora da distribuição normal

A distribuição normal é a lei gaussiana em forma de sino que aparece em notas de prova, erro de medição, controle de processo e em qualquer cenário em que muitos efeitos independentes pequenos se somam. Dois números fixam a curva: a média μ, que fica no pico, e o desvio padrão σ, que alarga ou comprime a largura. Com esses parâmetros conhecidos, duas perguntas diferentes surgem o tempo todo. A função densidade de probabilidade (PDF) diz com que densidade a probabilidade se concentra em um valor x escolhido — a altura do sino. A função de distribuição acumulada (CDF) diz quanta probabilidade fica em ou abaixo de x — a área de menos infinito até esse ponto. Esta calculadora aceita um valor finito, uma média e um desvio padrão positivo, mais um seletor de função pdf ou cdf, e devolve o número correspondente junto com o escore z padronizado. Um desvio padrão zero é rejeitado porque uma gaussiana não está definida quando a escala desaba.

O que a PDF e a CDF normais significam, e como z as liga

Uma lei normal N(μ, σ²) fica completamente descrita pelo seu centro e pela sua escala. A média μ é a localização do pico e o centro de simetria. O desvio padrão σ é uma largura positiva: um σ maior achata e alarga o sino; um σ menor concentra a massa em torno da média.

O valor que você envia é um ponto x nessa mesma reta numérica. Padronize primeiro: z é igual a (x menos μ) dividido por σ. Esse único escore diz a quantos desvios padrão x fica da média, que é a linguagem das tabelas normais impressas e da regra empírica 68-95-99.7.

A PDF, escrita φ(x), é a altura da curva em x. Sua forma fechada é um sobre σ vezes a raiz quadrada de dois π, vezes e elevado a menos um meio de z ao quadrado. Densidade não é probabilidade por si só; é probabilidade por unidade de x, então pode ultrapassar um quando σ é pequeno.

A CDF, escrita Φ(z), é a área sob essa mesma curva de menos infinito até x, igual a um meio vezes um mais a função erro de z sobre a raiz quadrada de dois. Quem consulta a CDF quer um posto percentílico, uma probabilidade de cauda esquerda ou P(X ≤ x). Escolha function pdf quando precisar da altura; escolha function cdf quando precisar da área acumulada.

As duas respostas compartilham o mesmo z, então você pode trocar o seletor sem repetir média e sigma. Frases de busca como calculadora de distribuição normal, pdf gaussiana e cdf normal chegam aqui porque compartilham os mesmos três números e só diferem em qual função é pedida.

Contrato de entrada, fórmulas, forma da resposta e erros

Se o desvio padrão for zero, a solicitação falha com a mensagem de que a distribuição normal fica indefinida quando σ é igual a zero, porque dividir por σ e formar uma densidade ambos desabam. Um desvio negativo é rejeitado do mesmo jeito: escala é uma largura positiva, não uma quantidade com sinal. Essas falhas de validação não são cobradas.

O valor crítico bilateral perto de 1.96 sob média zero e σ unitário dá probabilidade acumulada perto de 0.975. Os números são arredondados a doze algarismos significativos para os goldens ficarem estáveis entre ambientes.

Onde uma calculadora da distribuição normal se justifica

A intenção de busca de uma calculadora da distribuição normal é mais ampla do que uma página só de CDF ou uma ferramenta de escore z. Estudantes e professores querem uma única caixa que responda tanto quão alto é o sino nesta nota quanto que fração da turma fica em ou abaixo desta nota, sem abrir duas landings diferentes. Geradores de preparação para provas e plugins de gestão de aprendizagem precisam de um oráculo determinístico para itens de densidade e de acumulada que compartilham a mesma média e sigma.

Engenheiros de qualidade convertem um limite de especificação em densidade no limite ou em probabilidade de cauda esquerda sob uma média e um sigma de processo. A analítica de produto esboça modelos normais de trabalho para limiares antes de alguém subir uma simulação. A psicometria mapeia uma pontuação bruta a um posto acumulado e, com menos frequência, à densidade usada em fórmulas de informação do item.

Cadernos de finanças expressam um residual ou um nível de retorno como densidade gaussiana ou como P(X ≤ x) sob um modelo normal de trabalho. Não é a CDF inversa (quantil ou probit), nem uma calculadora t ou qui-quadrado, nem um padronizador só de z — essas são buscas diferentes. Existe uma calculadora irmã só de CDF para quem só quer Φ(x); esta capacidade existe porque as pessoas também buscam a densidade e uma calculadora combinada da distribuição normal.

Validação falha não consome saldo. Mantenha as solicitações pequenas, fixe as saídas arredondadas nos testes e você terá números gaussianos reproduzíveis para lição de casa, widgets e edge workers sem montar uma biblioteca estatística própria.