Aproximação normal

Quando um experimento binomial tem muitos ensaios independentes, a probabilidade exata de um número dado de sucessos fica cara de escrever à mão e incômoda de consultar em uma tabela impressa. O atalho clássico é a aproximação normal à binomial: substitui-se X ~ Binomial(n, p) por uma curva normal que compartilha a mesma média np e a mesma variância np(1-p) e lê-se a área sob essa curva. Esta calculadora recebe um número inteiro positivo de ensaios, uma probabilidade de sucesso estritamente entre zero e um, e uma contagem-alvo de sucessos; aplica a correção de continuidade de Yates que transforma uma contagem discreta em um intervalo de meia unidade e devolve a probabilidade aproximada junto com a média, o desvio padrão e os dois escores z corrigidos por continuidade.

Como se define a aproximação normal à binomial

Uma variável aleatória binomial X conta o número de sucessos em n ensaios de Bernoulli independentes que têm a mesma probabilidade de sucesso p. Sua média exata é n vezes p e sua variância exata é n vezes p vezes um menos p. O teorema de de Moivre–Laplace, caso especial do teorema central do limite, diz que, à medida que n cresce, a contagem padronizada (X menos a média) sobre o desvio padrão converge em distribuição para uma normal padrão Z.

Na prática, isso permite tratar X como aproximadamente normal com média mu igual a n p e desvio padrão sigma igual à raiz de n p (1-p), e converter qualquer evento sobre X em uma área sob essa curva em sino. Como X é discreta e a normal é contínua, uma probabilidade pontual crua P(X igual a k) colapsaria em uma linha de área zero.

A correção de continuidade de Yates corrige esse descompasso ao espalhar o inteiro k pelo intervalo unitário de k menos um meio até k mais um meio, de modo que P(X igual a k) se lê como a área normal entre esses dois semi-inteiros. O mesmo deslocamento de meia unidade transforma uma cauda esquerda P(X no máximo k) na área à esquerda de k mais um meio, e uma cauda direita P(X pelo menos k) na área à direita de k menos um meio.

A calculadora avalia essas áreas com a acumulada normal padrão Φ pela identidade da função erro Φ(z) igual a um meio vezes um mais erf de z sobre a raiz de dois, com a aproximação racional de Abramowitz e Stegun, de forma que cada chamada é aritmética de ponto flutuante pura.

O que você envia, o que recebe e quando a solicitação falha

Um tail opcional escolhe o evento: eq (o padrão) aproxima P(X igual a k), le aproxima P(X no máximo k), ge aproxima P(X pelo menos k), lt aproxima P(X estritamente menor que k) e gt aproxima P(X estritamente maior que k). Se trials for zero, negativo ou não inteiro, o tratador rejeita a solicitação com a mensagem clara de que trials deve ser um inteiro positivo, alinhada ao enunciado de que um experimento binomial precisa de um número inteiro positivo de ensaios.

Se p for zero ou um, a variância binomial some, o escore z fica indefinido e a solicitação falha em vez de dividir por zero. Se successes ficar fora de zero até n, a solicitação falha porque esse contagem não pode ocorrer. O resultado principal é probability no intervalo unitário mais percent para colar em relatórios, e uma string formula curta reafirma a identidade de Yates usada.

A bandeira da regra prática é só diagnóstica: um valor falso não rejeita a chamada, porque a aproximação continua definida e muitos itens de lição ficam de propósito perto da fronteira.

Onde esta calculadora se paga e como é cobrada

Equipes de qualidade e confiabilidade usam o mesmo atalho quando n é grande o bastante para uma soma binomial exata ser inconveniente e só precisam de uma probabilidade de cauda de planejamento para contagens de defeito, inspeções passa-não-passa ou planos de amostragem go-no-go. Analistas de produto e crescimento aproximam probabilidades de contagem de conversão quando uma campanha é modelada como n ensaios de Bernoulli independentes com uma taxa histórica p e querem a chance de atingir ou perder um alvo k.

Mantenha as solicitações dentro do teto de ensaios publicado, fixe a probabilidade arredondada nos testes e você obtém uma aproximação normal reproduzível sem montar um pacote estatístico. Se depois precisar da massa ou da acumulada binomial exata, vá à calculadora de probabilidade binomial exata; se já tiver dois limites z e só quiser a área entre eles, use a ferramenta de intervalo normal padrão. São intenções de busca e landings distintas, não sobrecargas desta página de aproximação normal.