Normalapproximation

Hat ein Binomialversuch viele unabhängige Durchgänge, wird die exakte Wahrscheinlichkeit einer gegebenen Trefferzahl mühsam von Hand zu schreiben und unbequem in einer gedruckten Tafel nachzuschlagen. Der klassische Ausweg ist die Normalapproximation der Binomialverteilung: man ersetzt X ~ Binomial(n, p) durch eine Glockenkurve mit demselben Mittelwert np und derselben Varianz np(1-p) und liest die Fläche unter dieser Kurve. Dieser Rechner nimmt eine positive ganze Versuchszahl, eine Erfolgswahrscheinlichkeit streng zwischen null und eins sowie eine Zieltrefferzahl entgegen, wendet die Yates-Stetigkeitskorrektur an, die einen diskreten Zähler in ein Halbeinheitenintervall verwandelt, und liefert die Näherungswahrscheinlichkeit zusammen mit Mittelwert, Standardabweichung und den beiden stetigkeitskorrigierten z-Werten.

Wie die Normalapproximation der Binomialverteilung definiert ist

Eine binomialverteilte Zufallsvariable X zählt die Treffer in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit derselben Erfolgswahrscheinlichkeit p. Ihr exakter Mittelwert ist n mal p und ihre exakte Varianz ist n mal p mal eins minus p. Der Satz von de Moivre–Laplace, ein Sonderfall des zentralen Grenzwertsatzes, besagt: wächst n, so konvergiert der standardisierte Zähler (X minus Mittelwert) geteilt durch die Standardabweichung in Verteilung gegen eine Standardnormale Z.

Praktisch dürfen Sie X daher näherungsweise als normal mit Mittelwert mu gleich n p und Standardabweichung sigma gleich der Wurzel aus n p (1-p) behandeln und jedes Ereignis über X in eine Fläche unter dieser Glocke übersetzen. Weil X diskret und die Normalverteilung stetig ist, würde eine rohe Punktwahrscheinlichkeit P(X gleich k) zu einer Linie der Fläche null zusammenfallen.

Die Yates-Stetigkeitskorrektur behebt diese Unstimmigkeit, indem sie die ganze Zahl k über das Einheitsintervall von k minus einhalb bis k plus einhalb spreizt, sodass P(X gleich k) als Normalfläche zwischen diesen beiden Halbzahlen gelesen wird. Dieselbe Halbeinheitenverschiebung macht aus einem linken Schwanz P(X höchstens k) die Fläche links von k plus einhalb und aus einem rechten Schwanz P(X mindestens k) die Fläche rechts von k minus einhalb.

Der Rechner wertet diese Flächen mit der standardnormalen Verteilungsfunktion Φ über die Fehlerfunktions-Identität Φ(z) gleich einhalb mal eins plus erf von z über Wurzel zwei aus, mit der rationalen Näherung von Abramowitz und Stegun, sodass jeder Aufruf reine Gleitkommaarithmetik ist.

Wo dieser Rechner sich lohnt und wie er bepreist wird

Qualitäts- und Zuverlässigkeitsteams nutzen dieselbe Abkürzung, wenn n groß genug ist, dass eine exakte Binomialsumme unbequem wird, und sie nur eine planungsreife Schwanzwahrscheinlichkeit für Fehlerzahlen, Gut-Schlecht-Prüfungen oder go-no-go-Stichprobenpläne brauchen. Produkt- und Wachstumsanalysten nähern Umrechnungszähl-Wahrscheinlichkeiten, wenn eine Kampagne als n unabhängige Bernoulli-Versuche mit historischer Rate p modelliert wird und sie die Chance wollen, ein Ziel k zu treffen oder zu verfehlen. Halten Sie Anfragen unter der veröffentlichten Versuchshöchstzahl, pinnen Sie die gerundete Wahrscheinlichkeit in Tests, und Sie erhalten eine reproduzierbare Normalapproximation ohne ein Statistikpaket aufzusetzen.

Brauchen Sie später die exakte Binomialmasse oder -kumulierte, landen Sie beim exakten Binomialwahrscheinlichkeitsrechner; haben Sie bereits zwei z-Grenzen und wollen nur die Fläche dazwischen, nutzen Sie das Standardnormal-Intervallwerkzeug. Das sind andere Suchabsichten und andere Landings, keine Überladungen dieser Normalapproximations-Seite.