Aproximación normal

Cuando un experimento binomial tiene muchos ensayos independientes, la probabilidad exacta de un número dado de éxitos resulta costosa de escribir a mano e incómoda de consultar en una tabla impresa. El atajo clásico es la aproximación normal a la binomial: se sustituye X ~ Binomial(n, p) por una curva normal que comparte la misma media np y la misma varianza np(1-p), y se lee el área bajo esa curva. Esta calculadora toma un recuento de ensayos entero positivo, una probabilidad de éxito estrictamente entre cero y uno, y un recuento objetivo de éxitos; aplica la corrección de continuidad de Yates que convierte un recuento discreto en un intervalo de media unidad, y devuelve la probabilidad aproximada junto con la media, la desviación típica y las dos puntuaciones z corregidas por continuidad.

Cómo se define la aproximación normal a la binomial

Una variable aleatoria binomial X cuenta el número de éxitos en n ensayos de Bernoulli independientes que tienen la misma probabilidad de éxito p. Su media exacta es n por p y su varianza exacta es n por p por uno menos p. El teorema de de Moivre–Laplace, caso particular del teorema central del límite, afirma que al crecer n el recuento tipificado (X menos la media) dividido por la desviación típica converge en distribución a una normal estándar Z.

En la práctica, eso permite tratar X como aproximadamente normal con media mu igual a n p y desviación típica sigma igual a la raíz de n p (1-p), y convertir cualquier suceso sobre X en un área bajo esa campana. Como X es discreta y la normal es continua, una probabilidad puntual cruda P(X igual a k) se reduciría a una línea de área nula.

La corrección de continuidad de Yates repara ese desajuste al extender el entero k al intervalo unidad desde k menos un medio hasta k más un medio, de modo que P(X igual a k) se lee como el área normal entre esos dos semienteros. El mismo desplazamiento de media unidad convierte una cola izquierda P(X a lo sumo k) en el área a la izquierda de k más un medio, y una cola derecha P(X al menos k) en el área a la derecha de k menos un medio.

La calculadora evalúa esas áreas con la acumulada normal estándar Φ mediante la identidad de la función error Φ(z) igual a un medio por uno más erf de z entre la raíz de dos, con la aproximación racional de Abramowitz y Stegun, de forma que cada llamada es aritmética de punto flotante pura.

Qué envía usted, qué recibe y cuándo falla la petición

Un tail opcional elige el suceso: eq (el valor por omisión) aproxima P(X igual a k), le aproxima P(X a lo sumo k), ge aproxima P(X al menos k), lt aproxima P(X estrictamente menor que k) y gt aproxima P(X estrictamente mayor que k). Si trials es cero, negativo o no entero, el manejador rechaza la petición con un mensaje claro de que trials debe ser un entero positivo, acorde con el enunciado de aula de que un experimento binomial necesita un número entero positivo de ensayos.

Si p es cero o uno, la varianza binomial se anula, la puntuación z queda indefinida y la petición falla en lugar de dividir por cero. Si successes queda fuera de cero a n, la petición falla porque ese recuento no puede ocurrir. El resultado principal es probability en el intervalo unitario más percent para pegar en informes, y una cadena formula breve reafirma la identidad de Yates usada.

El indicador de regla práctica es solo diagnóstico: un valor falso no rechaza la llamada, porque la aproximación sigue definida y muchos ejercicios de deberes se sitúan a propósito cerca del borde.

Dónde resulta útil esta calculadora y cómo se tarifa

Los equipos de calidad y fiabilidad usan el mismo atajo cuando n es lo bastante grande como para que una suma binomial exacta resulte incómoda y solo necesitan una probabilidad de cola de planificación para recuentos de defectos, inspecciones pasa-no-pasa o planes de muestreo go-no-go. Analistas de producto y crecimiento aproximan probabilidades de recuento de conversiones cuando una campaña se modela como n ensayos de Bernoulli independientes con una tasa histórica p y quieren la chance de alcanzar o fallar un objetivo k.

Mantenga las peticiones dentro del techo de ensayos publicado, fije la probabilidad redondeada en las pruebas y obtendrá una aproximación normal reproducible sin montar un paquete estadístico. Si más adelante necesita la masa o la acumulada binomial exactas, diríjase a la calculadora de probabilidad binomial exacta; si ya tiene dos cotas z y solo desea el área entre ellas, use la herramienta de intervalo normal estándar. Esas son intenciones de búsqueda y landings distintas, no sobrecargas de esta página de aproximación normal.