Gleichverteilung

Die stetige Gleichverteilung ist das einfachste Modell, das jedem Punkt eines abgeschlossenen Intervalls dieselbe Wahrscheinlichkeitsdichte zuweist. Folgt eine Zufallsvariable X der Verteilung Uniform(a, b), so ist ihre Dichte die Konstante eins durch (b minus a) zwischen der Untergrenze a und der Obergrenze b, ihr Mittelwert der Mittelpunkt (a plus b) durch zwei und ihre Varianz (b minus a) zum Quadrat durch zwölf. Dieser Gleichverteilungsrechner nimmt diese beiden Grenzen entgegen, optional einen Auswertepunkt x und einen zweiten Punkt x2 für ein Intervall sowie eine optionale Statistikauswahl, und liefert dann die angeforderten Werte: Dichte und kumulierte Wahrscheinlichkeit, Mittelwert, Varianz und Standardabweichung.

Was eine stetige Gleichverteilung ist und welche Kennzahlen sie liefert

Eine stetig gleichverteilte Zufallsvariable auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] ist das mathematische Modell für «jeder Wert in diesem Bereich ist gleich wahrscheinlich». Innerhalb des Intervalls gibt es kein bevorzugtes Zentrum: Die Dichte ist ein flaches Rechteck der Höhe eins durch (b minus a) und der Breite (b minus a), sodass die Gesamtfläche genau eins beträgt. Dieses Rechteck ist das gesamte Wahrscheinlichkeitsmodell.

Der Mittelwert sitzt im Mittelpunkt (a plus b) durch zwei, weil das Rechteck symmetrisch ist. Die Varianz ist (b minus a) zum Quadrat durch zwölf und wächst mit dem Quadrat der Breite: Eine Verdopplung der Intervalllänge vervierfacht die Varianz, wie man es von einer rein geometrischen Streuung erwartet. Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel dieser Varianz, gleich (b minus a) durch die Quadratwurzel von zwölf.

Die Verteilungsfunktion ist eine Rampe: Sie ist null links von a, steigt linear von null auf eins zwischen a und b und bleibt rechts von b bei eins. Die Punktwahrscheinlichkeit P(X gleich x) ist für jedes einzelne x null, die korrekte stetige Antwort; Lernende wollen in der Regel die Dichtehöhe, die kumulierte P(X höchstens x) oder eine Intervallwahrscheinlichkeit P(u ≤ X ≤ v). Er schätzt a und b nicht aus einer Stichprobe, zieht keine Zufallszahlen und passt keine diskrete Gleichverteilung auf den ganzen Zahlen an; das sind andere Suchabsichten.

Der Vertrag hier lautet: Bei gegebenen Unter- und Obergrenzen einer stetigen Gleichverteilung die angeforderten Kennzahlen — Wahrscheinlichkeit, Mittelwert und Varianz — zurückgeben, mit optionalen Auswertepunkten, wenn eine Wahrscheinlichkeit verlangt wird.

Wo ein Gleichverteilungsrechner in Studium, Simulation und Code eingesetzt wird

Studierende begegnen der stetigen Gleichverteilung in der ersten Woche eines Wahrscheinlichkeitskurses: die Wartezeit, die überall in einem Zehn-Minuten-Fenster gleich wahrscheinlich ist, der Spinner, der irgendwo auf einem Einheitsintervall landet, der Rundungsfehler, der als gleichverteilt auf plus oder minus einer halben Einheit behandelt wird. Lehrbücher verlangen Mittelwert und Varianz aus a und b, dann P(X ≤ x) oder P(c ≤ X ≤ d) über die Fläche eines Rechtecks statt über eine Tabelle.

Lehrkräfte können Lösungsschlüssel für beliebige Grenzen vorab erzeugen, ohne undurchsichtigen Rechner-Apps zu vertrauen, die die Zwölf in der Varianzformel anders runden oder eine Punktwahrscheinlichkeit als Dichte behandeln. Simulations- und Monte-Carlo-Notizbücher nutzen Uniform(0, 1) als Rohquelle, die anschließend über andere CDF invertiert wird; zu prüfen, dass diese Quelle wirklich Mittelwert ein Halb und Varianz ein Zwölftel hat, ist ein üblicher Plausibilitätstest vor einem langen Lauf.

Qualitäts- und Betriebsteams modellieren ein Toleranzband als gleichverteilt, wenn kein Wert innerhalb der Spezifikation bevorzugt wird, und lesen die Chance ab, dass eine Messung in ein engeres Kundenfenster fällt. Entwickler rufen den Vertrag aus Skripten auf, um deterministische Testvektoren zu speisen, geschlossene Momente zu veranschaulichen oder Programmieraufgaben zu erfüllen, die Mittelwert, Varianz und einen CDF-Wert für gegebene a, b und x verlangen. Kombinieren Sie ihn mit einem Standardnormal-Intervallwerkzeug, wenn Sie eine Glockenkurve statt eines Rechtecks brauchen, und mit Binomial- oder Poisson-Rechnern, wenn die Variable diskret statt stetig ist.