Tschebyscheff-Rechner
Mindestens 75 Prozent aller Daten mit endlicher Varianz liegen innerhalb von 2 Standardabweichungen um den Mittelwert, ob glockenförmig oder nicht. Geben Sie die gewünschte Zahl von Standardabweichungen ein und sehen Sie den garantierten Anteil innen und den höchstmöglichen außen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- K
- 2
- Verhältnis
- 0,75
- Prozent
- 75
- Anteil außerhalb
- 0,25
Die Tschebyscheff-Ungleichung, auch Bienaymé-Tschebyscheff-Ungleichung genannt, liefert eine verteilungsfreie Untergrenze dafür, wie viel einer Datenmenge nahe am Mittelwert liegen muss. Für jede reellwertige Sammlung mit endlichem Mittelwert und endlicher positiver Standardabweichung fallen mindestens eins minus eins durch k zum Quadrat der Beobachtungen in k Standardabweichungen um den Mittelwert, sobald k echt größer als eins ist. Anders als die empirische Regel, die eine ungefähr glockenförmige Normalverteilung unterstellt, gilt die Tschebyscheff-Schranke für jede Verteilung mit Varianz, einschließlich schiefer, multimodaler und schwer schwänziger Verteilungen.
Was die Tschebyscheff-Ungleichung sagt und wie die Schranke entsteht
Die Tschebyscheff-Ungleichung ist eine verteilungsfreie Garantie dafür, wie eng sich eine Zahlenmenge um ihren Mittelwert scharen muss. Schreiben Sie mu für den Mittelwert und sigma für eine endliche positive Standardabweichung. Für jedes reelle k echt größer als eins besagt der Satz, dass der Anteil der Beobachtungen im abgeschlossenen Intervall von mu minus k sigma bis mu plus k sigma mindestens eins minus eins durch k zum Quadrat beträgt.
Gleichwertig gilt: der Anteil, der k oder mehr Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt sitzen darf, ist höchstens eins durch k zum Quadrat. Der Beweis folgt in einer Zeile aus der Markow-Ungleichung, angewandt auf die quadrierte Abweichung von X gegenüber mu, sodass das Ergebnis niemals Normalität, Symmetrie oder Unimodalität braucht. Deshalb kann ein Übungsblatt dieselbe Schranke auf Klausurnoten, Wartezeiten oder Fabrikwerte anwenden, ohne zuvor eine Glocke zu prüfen.
Klassische Unterrichtswerte sind unmittelbar: k gleich zwei liefert mindestens drei Viertel der Daten innerhalb von zwei Standardabweichungen um den Mittelwert; k gleich drei liefert mindestens acht Neuntel, etwas mehr als achtundachtzig Komma acht Prozent. Nähert sich k von oben der Eins, fällt die Schranke gegen null und hört auf zu informieren; deshalb weist dieser Rechner k kleiner oder gleich eins zurück, statt einen nichtpositiven Anteil zu liefern. Die Formel ist geschlossen und deterministisch: keine Tabellensuche, kein Zufallskeim, keine Abhängigkeit von der ursprünglichen Stichprobe, sobald k bekannt ist.
Wo ein Tschebyscheff-Rechner sich lohnt und was er nicht tut
Qualitätsteams nutzen die Schranke, wenn ein Prozess Mittelwert und Varianz kennt, aber nicht als normal bekannt ist, sodass sie trotzdem einen konservativen Anteil der Ausgabe in einem k-Sigma-Fenster angeben können. Risiko- und Versicherungshefte wenden dieselbe Ungleichung auf schiefe oder schwer schwänzige Verlustverteilungen an, bei denen die empirische Regel achtundsechzig fünfundneunzig neunundneunzig Komma sieben zu viel versprechen würde. Falls Sie später die empirische Regel unter Normalannahme, einen z-Wert für einen Rohwert oder eine Fünf-Zahlen-Zusammenfassung einer Spalte brauchen, behandeln Sie das als getrennte Suchabsichten und Landeseiten, statt diese Tschebyscheff-Seite zu überladen.
Die Grenzen sind Absicht: der Rechner passt keine Dichte an, liefert keinen p-Wert und zieht die Schranke nicht mit zusätzlichen Formannahmen enger. Nutzen Sie ihn, wenn die ehrliche Antwort die schwächste Garantie ist, die noch für jede Verteilung mit Varianz gilt.
Anwendungsfälle
Schulische Tschebyscheff-Übungen
Lassen Sie Lernende k senden und den garantierten Mindestprozentsatz innerhalb von k Standardabweichungen um den Mittelwert gegen Lehrbuchtabellen prüfen.
Konservative Prozessfenster
Geben Sie einen verteilungsfreien Anteil der Ausgabe in einem k-Sigma-Band an, wenn ein Prozess Mittelwert und Varianz hat, aber nicht als normal bekannt ist.
Risikoschranken bei schweren Schwänzen
Wenden Sie Tschebyscheff auf schiefe Verluste oder Wartezeiten an, bei denen die empirische Regel zu viel Masse nahe am Mittelwert behaupten würde.
Häufige Fragen
Was ist die Tschebyscheff-Ungleichung?
Für jede Datenmenge mit endlichem Mittelwert und endlicher positiver Standardabweichung liegen mindestens 1 − 1/k² der Werte innerhalb von k Standardabweichungen um den Mittelwert, sobald k > 1. Die Schranke nimmt keine Normalglocke an.
Warum muss k größer als eins sein?
Ist k eins oder kleiner, ist 1 − 1/k² null oder negativ, sodass die Ungleichung nichts Nützliches sagt.
Worin unterscheidet sie sich von der empirischen Regel?
Die empirische Regel 68–95–99.7 unterstellt eine näherungsweise Normalverteilung. Die Tschebyscheff-Schranke ist schwächer, gilt aber für jede Verteilung mit Varianz, einschließlich schiefer und schwer schwänziger Stichproben.
Was liefert der Rechner zurück?
Er liefert k, den Mindestanteil 1 − 1/k², denselben Anteil in Prozent, die komplementäre Außendecke 1/k² und die Formelzeichenkette. Er schätzt weder Mittelwert noch sigma aus einer Rohwertliste.
Wie viel liegt mindestens innerhalb von drei Standardabweichungen?
Mindestens acht Neuntel der Daten, also etwas mehr als 88,8 Prozent. Unter einer Normalverteilung wären es fast alle Werte, doch die Tschebyscheff-Schranke gilt auch für schiefe oder mehrgipflige Verteilungen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"k":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"k": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"k": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"k":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/chebyshevs-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"k": 2
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.chebyshevs_theorem",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Dieser Rechner nimmt ein einziges k entgegen, wendet die geschlossene Formel an und liefert den garantierten Mindestanteil als strukturiertes JSON. Anfragen mit k kleiner oder gleich eins scheitern mit invalid_input, weil die klassische Aussage an jener Grenze leer ist.
Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten
Die definierende Einschränkung des Satzes ist als harte Prüfung kodiert: k muss echt größer als eins sein. Das Senden von eins, eines Bruchs wie ein halb, von null oder einer negativen Anzahl scheitert mit der Meldung, k müsse größer als eins sein, und solche Fehlschläge werden nicht berechnet. Beispiel: k gleich drei ergibt proportion acht Neuntel. Der Endpunkt nimmt keine Rohwertliste entgegen und schätzt weder mu noch sigma; das sind getrennte Suchabsichten, die Geschwisterfähigkeiten der Statistik bedienen. Senden Sie einen JSON-Körper mit einer einzigen erforderlichen endlichen Zahl k, der Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert. Das Feld akzeptiert außerdem die Aliasse k_sigma, deviations und std_devs, sodass Unterrichtssprache und API-Namen beide funktionieren. Jeder Wert darf als JSON-Zahl oder als numerische Zeichenkette eintreffen; fehlende Felder, leere Zeichenketten, NaN und Infinity scheitern mit invalid_input und nennen k. Bei Erfolg wiederholt der Körper das bereinigte k, liefert proportion als eins minus eins durch k zum Quadrat, liefert percent als das Hundertfache dieses Anteils, liefert outside_proportion als die komplementäre Tschebyscheff-Decke eins durch k zum Quadrat und wiederholt die Formelzeichenkette, damit ein Arbeitsblatt die Rechnung neben der Zahl zeigen kann. Beispiel: k gleich zwei ergibt proportion null Komma fünfundsiebzig, percent fünfundsiebzig und outside_proportion null Komma fünfundzwanzig. Verdrahten Sie das kostenlose Browserformular für eine einzelne Hausaufgabenprüfung und rufen Sie denselben Vertrag aus Skripten auf, wenn Sie viele k-Werte unter einer stabilen JSON-Form brauchen.
Wo ein Tschebyscheff-Rechner sich lohnt und was er nicht tut
Statistikkurse an Schulen und Hochschulen vergeben ständig Tschebyscheff-Übungen, die den Mindestprozentsatz der Daten innerhalb von zwei, zweieinhalb oder drei Standardabweichungen um den Mittelwert verlangen; ein einziges verlässliches Orakel, das sauberes JSON liefert, beschleunigt die Bewertung und die Demovorbereitung ohne Streit ums Runden. Weil diese Fähigkeit eine reine parse-Engine ist, gilt für die API der veröffentlichte Grundpreis von $0.002 je erfolgreichem Element, und eine fehlgeschlagene Prüfung wird nicht berechnet.
Technische Fragen
Was kostet der Tschebyscheff-Rechner?
Das Browserwerkzeug ist kostenlos und läuft örtlich. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 je erfolgreichem Element; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.