Calculadora binomial

A calculadora de probabilidade binomial avalia uma variável aleatória discreta Binomial(n, p) para um número escolhido de sucessos k. Você informa o número de ensaios de Bernoulli independentes n, a probabilidade de sucesso p em cada ensaio, e o número-alvo de sucessos k. O mecanismo retorna a probabilidade pontual P(X igual a k), a probabilidade cumulativa P(X menor ou igual a k), a média n vezes p, e a variância n vezes p vezes um menos p. A aritmética é ponto flutuante determinística, com um caminho de coeficiente binomial em espaço logarítmico, então as mesmas entradas sempre produzem as mesmas saídas, sem chamadas de rede nem amostragem aleatória.

O que a distribuição binomial responde e o que a resposta contém

Um experimento binomial é um número fixo de ensaios independentes, onde cada ensaio tem exatamente dois resultados, sucesso e fracasso, e a probabilidade de sucesso permanece constante entre os ensaios. Se X conta o número de sucessos em n ensaios desses com probabilidade de sucesso p, então X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p. A função de massa de probabilidade clássica é P(X igual a k) igual ao coeficiente binomial C(n, k) vezes p elevado a k vezes (1 menos p) elevado a n menos k.

Esta calculadora também retorna a função de distribuição cumulativa P(X menor ou igual a k), que é a soma da função de massa de zero até k, mais a média n p e a variância n p (1 menos p). Esses quatro números cobrem as perguntas que estudantes, analistas, e engenheiros fazem com mais frequência: qual a chance de exatamente k sucessos, qual a chance de no máximo k, e quais são a localização e a dispersão da distribuição.

A resposta ecoa o n, k e p normalizados, anexa strings curtas de fórmula para que quem aprende possa verificar à mão, e inclui o n máximo publicado, para que clientes em lote possam validar antes de enviar trabalho. O contrato é intencionalmente rígido. O número de sucessos k precisa ser um inteiro entre zero e n, inclusive; k acima de n é rejeitado em vez de retornar um zero silencioso que poderia esconder um erro de índice fora por um em um chamador.

Esta página é apenas a ferramenta de PMF e CDF binomial. Ela não amostra sequências aleatórias de ensaios, não estima p a partir de dados, e não executa testes de hipótese nem intervalos de confiança. Se você precisar de calculadoras de Poisson, normal, ou hipergeométrica, use essas ferramentas dedicadas quando estiverem disponíveis; aqui a intenção de busca é a probabilidade binomial para n, p e k, com fórmulas exatas e execução gratuita no navegador.

Como n, p e k são lidos e como a PMF e a CDF são calculadas

Sinais de mais à esquerda opcionais em inteiros são permitidos; espaços incorporados, prefixos hexadecimais, sinais negativos onde proibidos, e notação exponencial em campos inteiros são rejeitados, para que uma célula de planilha ruim não vire uma probabilidade errada. A probabilidade p aceita números decimais comuns e notação científica como um real finito, depois impõe o intervalo unitário fechado, com um erro explícito que nomeia o campo quando o valor cai fora de zero a um.

O cálculo da função de massa usa logaritmos: log C(n, k) é construído a partir de um produto multiplicativo de razões, depois k log p e (n menos k) log (1 menos p) são somados, e a exponencial recupera uma probabilidade em zero a um. Esse caminho evita o estouro intermediário que fatoriais completos causariam para n moderados. Casos de fronteira p igual a zero e p igual a um vão diretamente para massas exatas de zero ou um, sem tirar o logaritmo de zero.

O valor cumulativo é obtido somando os termos de massa; quando k é grande em relação a n, o mecanismo soma a cauda superior complementar e subtrai de um, para melhor comportamento numérico. Média e variância usam as fórmulas fechadas n p e n p (1 menos p).

Onde as probabilidades binomiais se encaixam no estudo, no controle de qualidade e no código

Estudantes encontram a distribuição binomial quando um livro didático pede a chance de cinco caras em dez lançamentos de moeda honesta, quando uma planilha de exercícios quer a probabilidade de no máximo dois itens defeituosos em uma amostra, ou quando eles verificam que as fórmulas de média e variância correspondem à definição da função de massa de probabilidade. Professores podem gerar gabaritos previamente para n modestos sem confiar em aplicativos de calculadora opacos que arredondam coeficientes intermediários ou escondem a definição cumulativa.

Equipes de qualidade e operações esboçam modelos de inspeção aprovação-reprovação: n itens inspecionados, p a taxa histórica de defeito, k um limiar de defeitos que dispara uma retenção. Analistas de produto e crescimento usam a mesma estrutura para ensaios independentes de conversão com uma taxa de sucesso fixa, por exemplo, a chance de pelo menos um número-alvo de cadastros se cada visitante converte com probabilidade p.

Desenvolvedores chamam o contrato a partir de scripts para gerar vetores de teste determinísticos, para ilustrar truques de coeficiente em espaço logarítmico, ou para atender enunciados de desafios de programação que exigem P(X igual a k) e P(X menor ou igual a k) para n, p e k dados. A prática de concursos costuma precisar de uma fonte rápida e offline de valores binomiais, para que soluções possam ser verificadas sem embutir tabelas estáticas grandes à mão.