Calculateur de probabilité binomiale

Le calculateur de probabilité binomiale évalue une variable aléatoire discrète Binomiale(n, p) pour un nombre de succès k choisi. Vous fournissez le nombre d'essais de Bernoulli indépendants n, la probabilité de succès p à chaque essai, et le nombre cible de succès k. Le moteur renvoie la probabilité ponctuelle P(X égale k), la probabilité cumulative P(X est inférieur ou égal à k), la moyenne n fois p, et la variance n fois p fois un moins p. L'arithmétique est de la virgule flottante déterministe avec une voie de coefficient binomial en espace logarithmique, si bien que les mêmes entrées produisent toujours les mêmes sorties sans appels réseau ni échantillonnage aléatoire.

Ce à quoi répond la distribution binomiale et ce que contient la réponse

Une expérience binomiale est un nombre fixe d'essais indépendants où chaque essai a exactement deux issues, succès et échec, et la probabilité de succès reste constante à travers les essais. Si X compte le nombre de succès dans n essais de ce type avec une probabilité de succès p, alors X suit la distribution binomiale avec les paramètres n et p.

La fonction de masse de probabilité classique est P(X égale k) égale le coefficient binomial C(n, k) fois p à la k fois (1 moins p) à la n moins k. Ce calculateur renvoie aussi la fonction de répartition cumulative P(X est inférieur ou égal à k), qui est la somme de la fonction de masse de zéro à k, plus la moyenne n p et la variance n p (1 moins p).

Ces quatre nombres couvrent les questions que les élèves, analystes, et ingénieurs posent le plus souvent : quelle est la probabilité d'exactement k succès, quelle est la probabilité d'au plus k, et quels sont la position et l'étalement de la distribution. La réponse reprend n, k, et p normalisés, joint de brèves chaînes de formule afin que les apprenants puissent vérifier à la main, et inclut le n maximum publié afin que les clients par lots puissent valider avant d'envoyer du travail. Le contrat est volontairement strict.

Le nombre de succès k doit être un entier entre zéro et n inclus ; un k au-dessus de n est rejeté plutôt que de renvoyer un zéro silencieux qui pourrait cacher un bug de décalage d'un dans un appelant. Des champs manquants, des non-entiers pour n ou k, des nombres non finis, et la notation scientifique sur des champs entiers sont rejetés avec des messages clairs afin que les tests de référence restent stables et que la mise en cache reste sûre.

Cette page est uniquement l'outil PMF et CDF binomial. Elle n'échantillonne pas de séquences d'essais aléatoires, n'estime pas p à partir de données, et n'exécute pas de tests d'hypothèse ni d'intervalles de confiance. Si vous avez besoin de calculateurs de Poisson, normal, ou hypergéométrique, utilisez ces outils dédiés lorsqu'ils sont disponibles ; ici l'intention de recherche est la probabilité binomiale pour n, p, et k avec des formules exactes et une exécution gratuite dans le navigateur.

Comment n, p, et k sont lus et comment PMF et CDF sont calculés

Les signes plus initiaux optionnels sur les entiers sont autorisés ; les espaces internes, les préfixes hexadécimaux, les signes négatifs là où ils sont interdits, et la notation exponentielle sur des champs entiers sont rejetés afin qu'une mauvaise cellule de tableur ne devienne pas une mauvaise probabilité. La probabilité p accepte des nombres décimaux ordinaires et la notation scientifique comme un réel fini, puis applique l'intervalle unité fermé avec une erreur explicite qui nomme le champ lorsque la valeur tombe en dehors de zéro à un.

Le calcul de la fonction de masse utilise des logarithmes : log C(n, k) est construit à partir d'un produit multiplicatif de ratios, puis k log p et (n moins k) log (1 moins p) sont ajoutés, et l'exponentielle récupère une probabilité entre zéro et un. Ce chemin évite le dépassement intermédiaire que les factorielles complètes causeraient pour un n modéré. Les cas limites p égale zéro et p égale un court-circuitent vers des masses exactement zéro ou un sans prendre le logarithme de zéro.

La valeur cumulative est obtenue en sommant les termes de masse ; lorsque k est grand par rapport à n, le moteur somme la queue supérieure complémentaire et soustrait de un pour un meilleur comportement numérique. La moyenne et la variance utilisent les formes closes n p et n p (1 moins p).

Où les probabilités binomiales s'inscrivent dans l'étude, le contrôle qualité et le code

Les élèves rencontrent la distribution binomiale lorsqu'un manuel demande la chance de cinq faces en dix lancers de pièce équilibrée, lorsqu'une fiche d'exercices veut la probabilité d'au plus deux articles défectueux dans un échantillon, ou lorsqu'ils vérifient que les formules de moyenne et de variance correspondent à la définition issue de la fonction de masse de probabilité. Les enseignants peuvent pré-générer des corrigés pour des n modestes sans faire confiance à des applications de calculatrice opaques qui arrondissent les coefficients intermédiaires ou cachent la définition cumulative.

Les équipes qualité et opérations esquissent des modèles d'inspection pass-fail : n articles inspectés, p le taux de défaut historique, k un seuil de défauts qui déclenche une retenue. Les analystes produit et croissance utilisent la même structure pour des essais de conversion indépendants avec un taux de succès fixe, par exemple la chance d'obtenir au moins un nombre cible d'inscriptions si chaque visiteur convertit avec une probabilité p.

Les développeurs appellent le contrat depuis des scripts pour amorcer des vecteurs de test déterministes, pour illustrer des astuces de coefficient en espace logarithmique, ou pour satisfaire des énoncés de défis de programmation qui exigent P(X égale k) et P(X inférieur ou égal à k) pour n, p, et k donnés. La pratique en concours a souvent besoin d'une source rapide et hors ligne de valeurs binomiales afin que les solutions puissent être vérifiées sans intégrer de grandes tables statiques à la main.

Associez-le à des compteurs combinatoires lorsque vous n'avez besoin que de C(n, k), à des outils de suite géométrique lorsque vous avez besoin de facteurs de croissance plutôt que de comptages d'essais, et à d'autres points de terminaison de mathématiques lorsque vous construisez un petit laboratoire d'utilitaires de probabilité gratuits et déterministes.