標準正規確率
z値−1.96から1.96までの面積は、標準正規分布の約95%です。下限と上限のzを入力すると、その間の確率と同じ値のパーセント表示、両端までの累積面積が分かります。ブラウザで無料で使えます。
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- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 下側のZ
- -1.96
- 上側のZ
- 1.96
- 確率
- 0.9500043478
- パーセント
- 95.0004347784
- 下側のΦ
- 0.0249978261
- 上側のΦ
- 0.9750021739
標準正規分布は、平均0・標準偏差1の基準となる釣鐘型曲線です。入門統計の授業、品質管理図、標準化テストの表は、いずれも最終的に同じ問いを投げかけます。その曲線上の2つのz値のあいだに、どれだけの確率質量があるのか。この標準正規確率計算機は、標準正規累積分布関数を決定論的に1回評価するだけで答えを返します。下側境界が上側境界を上回る場合、負の面積を黙って返すのではなく、明確な検証エラーで拒否します。
標準正規区間確率の定義
標準正規確率変数Zは、exp(−z²/2)に比例する密度を持ち、中心は0、広がりは1です。累積分布関数Φ(z)はZがz以下である確率であり、曲線の下側で負の無限大からその点までの面積に等しくなります。−1.96から1.96までの中心質量は約95パーセント、0から1までは約34パーセント、3を超える部分は細い尾部です。
Φは狭義単調増加なので、下側境界が上側を超えない限り差は常に非負です。境界が等しいとき確率はちょうど0であり、これは連続分布における一点の正しい答えです。境界が広い中心領域を覆うと、モンテカルロ標本や外部表なしで確率は1に近づきます。
本計算機は誤差関数の恒等式Φ(z)=½(1+erf(z/√2))とAbramowitz–Stegunの有理近似によりΦを実装し、評価はネットワーク・乱数シード・壁時計に依存しない純粋な浮動小数点演算です。
実務でこの計算機が使われる場面
高校・大学の統計では経験則の演習、臨界値表、「2つのzスコア間の面積を求めよ」が絶えず出題されます。品質管理と工程監視のチームは、管理限界を標準正規の質量に写し、正規モデル下で下側・上側の規格線のあいだに安定工程のどれだけが期待されるかを述べます。心理測定と標準化テストは、等化後に正規を仮定するとき、カットスコアをz単位へ、さらに合格確率へ変換します。
データサイエンスのノートブックは、シミュレーション検証や信頼区間幅が意図した被覆に合うかの確認で、依存のない高速なΦ差をしばしば必要とします。生の試験点をzスコアへ変換する、記述統計の全体を出す、平均とsigmaが任意の非標準正規を評価するといった要件は、別の検索意図とランディングとして扱い、この標準正規確率のページに詰め込まないでください。
活用例
課題・試験での表の確認
学習者と採点者は、印刷ページをめくらずに、与えられたz境界について標準正規表とP(a ≤ Z ≤ b)を照合できます。
管理限界と工程能力
品質技術者は下側・上側の管理限界や規格限界を標準正規質量に写し、安定工程の被覆を見積もります。
信頼区間と臨界値の説明
教員と分析者は、±1.96のような中心区間がN(0,1)の下でおおよそ95パーセントに対応することを示します。
よくある質問
この計算機はどの公式を使いますか？
Φは標準正規CDF、Z ~ N(0,1)で、Φはerf(z/√2)で評価します。
下側境界が上側より大きいとどうなりますか？
反転区間は負の確率になるため、エンジンは明確なメッセージで拒否します。
結果は厳密値ですか？
高精度の解析近似（Abramowitz & Stegunのerf）です。誤差は印刷z表の丸めよりはるかに小さく、結果は完全に決定論的です。
−1.96から1.96までの確率はいくつですか？
約95%です。1.96までの累積面積から−1.96までの累積面積を引いた値で、このためこの2つのz値が一般的な両側95%区間の境目として使われます。
片側の確率はどう求めますか？
計算機が両端ごとに示す累積面積を見てください。それがそのz値を下回る確率です。あるz値を上回る確率は、1からその値を引いて求められます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/standard-normal-probability \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"z_lower":-1.96,"z_upper":1.96}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/standard-normal-probability", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"z_lower": -1.96,
"z_upper": 1.96
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/standard-normal-probability",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"z_lower": -1.96,
"z_upper": 1.96
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/standard-normal-probability", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"z_lower":-1.96,"z_upper":1.96}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"z_lower":-1.96,"z_upper":1.96}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/standard-normal-probability", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"z_lower": -1.96,
"z_upper": 1.96
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.standard_normal_probability",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
下側のz境界と上側のz境界を指定すると、確率P(z_lower ≤ Z ≤ z_upper)、同じ値の百分率、および両端でのCDF値を返すので、減算を自ら確認できます。無料のブラウザフォームと有料APIは、同一の純粋な同型関数を共有するため、課題の正解キーと本番スクリプトが同じzの組で食い違うことはありません。成功したAPI呼び出しの料金は公開ベースの$0.002/件で、無効な入力は課金されません。
標準正規区間確率の定義
したがってZが閉区間[z_lower, z_upper]に入る確率は、その累積面積の差、すなわちΦ(z_upper)からΦ(z_lower)を引いた値です。この一度の減算だけで、学生が手で行っていた教科書の表引きを再現できます。同一の境界は常に同一のJSONを返すため、自動採点と継続的インテグレーションの固定値に適しています。
送信内容と戻り値
必須の有限数を2つ送ってください。古典的な確認例は、−1.96から1.96の両側95パーセント区間、0から1の1シグマ帯、−1から1の中心68パーセント帯です。区間の左端がz_lower、右端がz_upperです。エンジンは左境界にlower・a・z1、右境界にupper・b・z2の別名も受け付けるため、教室表記のスクリプトでフィールド名を変える必要はありません。欠落フィールド、空文字列、NaN、Infinityはinvalid_inputで失敗し課金されません。z_lowerがz_upperより厳密に大きい場合、反転区間は負の確率を生んで誤解を招くため、下側が上側を超える旨のメッセージで拒否します。成功時は整形済み境界をエコーし、単位区間のprobability、百分率のpercent、表や別ライブラリで減算を確認するためのphi_lowerとphi_upperを返します。短いformula文字列は、標準正規のZについてP(z_lower ≤ Z ≤ z_upper)=Φ(z_upper)−Φ(z_lower)を再掲します。課題とデモには無料ブラウザフォームを、多数の境界対の区間確率には同一契約のスクリプトを、単一のJSON形状で利用できます。
実務でこの計算機が使われる場面
整ったJSONを返す信頼できるオラクルがあれば、印刷表を繰らずに採点とデモが速くなります。本能力は純粋なparseエンジンのため、API料金は公開ベースの$0.002/成功件で、検証失敗は残高を消費しません。
技術的な質問
z_lowerとz_upperの代わりに別名を使えますか？
はい。下側の別名はlower、a、z1。上側はupper、b、z2。境界ごとに1つで足ります。
料金はいくらですか？
ブラウザツールは無料でローカル実行です。APIは前払いKIT残高を成功1件あたり$0.002で使用し、無効入力は課金されません。