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指数分布の平均と分散

1時間に2回の割合で起こる出来事なら、平均の待ち時間は0.5時間、分散は0.25、標準偏差は0.5です。指数分布のレートλを入力するだけで、3つの値がまとめて分かります。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

ラムダ: 2

結果

平均: 0.5
差異: 0.25
Std: 0.5

指数分布は、出来事が一定の平均レートで、過去の記憶なく発生する場合の待ち時間・到着間隔の古典的な連続モデルです。レート母数λを固定すると、三つのモーメントが閉形式で得られます。平均は1/λ、分散は1/λ²、標準偏差も1/λです。

レートパラメータ化と閉形式の三モーメント

レートパラメータ化では、非負の連続確率変数XがExp(λ)に従うとき、密度はxが0以上でλ·e^{−λx}、それ以外は0です。レートλは単位時間あたりの期待事象数なので、λが大きいほど典型的な待ちは短くなります。この密度に対してxを積分すると平均μ=1/λが得られます。

平均からの二乗偏差を積分すると分散σ²=1/λ²が得られます。分散の正の平方根が標準偏差σで、これは1/λとなり絶対スケールで平均と一致します。指数族の特徴であり、学生が素早い健全性確認によく使う性質です。

一部の教科書はθ=1/λの尺度パラメータ化を好み、その記法では平均はθ、分散はθ²、標準偏差はθです。本機能はレート形式のみを用います。無記憶性は、これまでに生存した条件付きの残り待ちが新しい待ちと同じ分布を持つことを意味し、だから指数分布はポアソン過程の到着間隔、放射性崩壊の待ちモデル、一定ハザードの単純な信頼性モデルに現れます。

出力はいずれもλのみの有理関数なので手順は完全に決定論的で、同じレートは常に同じ平均・分散・標準偏差を返し、モンテカルロ雑音も表引きもありません。

入力契約、検証、応答の形

エンジンは別名rate、lam、Unicode文字λも受け付けるため、既にその用語で書かれたスクリプトや授業用シートは改名不要です。零または負のレートは、λが正でないとき指数分布が未定義であるというメッセージで失敗し、その検証失敗は課金されず平均もでっち上げません。

成功時は本体が整形済みlambdaを返し、meanは1/λ、varianceは1/λ²、stdは1/λ、そしてレートパラメータ化の下でμ=1/λ、σ²=1/λ²、σ=1/λを述べる公式文字列を返します。古典的な確認としてλ=1は平均1・分散1・std1、λ=2は平均1/2・分散1/4・std1/2です。

宿題や素早い健全性確認には無料ブラウザフォームを、サービスレートや故障レートの一括評価には同一契約をスクリプトから呼び出してください。

指数モーメントが実務で現れる場面

入門の確率・統計では、「1時間あたり平均λ件なら期待待ちはいくつでどれだけ散らばるか」という形の問題が絶えず出ます。オペレーションズ・リサーチと待ち行列のスケッチは指数の到着・サービス仮定をM/Mの積木として使い、それらの待ちの平均と分散が容量計画やLittleの法則の簡単な議論に入り、その後に重いシミュレーションへ進みます。

信頼性と生存分析はしばしば一定ハザード率λから始まり、平均故障時間は1/λ、分散1/λ²がその純指数モデル下のMTTFまわりの不確かさを定量化します。プロダクト分析とサイト信頼性のチームは、観測された毎分イベントレートを期待イベント間隔とその散らばりに変換し、ダッシュボードやアラート閾値を組み立てます。

ある点での指数PDF/CDF、標本からのλの最尤推定、ポアソン計数、離散試行の幾何待ち、数値リストの完全記述統計が後で必要なら、この指数平均・分散計算機ページに詰め込まず、別の検索意図とランディングとして扱ってください。

活用例

宿題と確率の実験

学生と採点者が教科書のレートについてμ=1/λ、σ²=1/λ²、σ=1/λを確認し、非正のλが無効である厳しい規則も含めます。

待ち行列と信頼性のスケッチ

技術者はサービス率や故障率を、期待待ちまたはMTTFと分散に変え、その後より重いシミュレーションモデルを構築します。

スクリプトとCIの数値フィクスチャ

パイプラインと面接サンドボックスは、各言語で1/λと1/λ²を再実装せず、決定論的な指数モーメント契約を呼び出します。

よくある質問

この計算機で指数の平均と分散をどう求めますか？

応答はmean、variance、std、整形済みlambda、公式文字列を返します。

計算機はどの公式を使いますか？

レートパラメータ化のX~Exp(λ)では平均μ=1/λ、分散σ²=1/λ²、標準偏差σ=1/λです。尺度形式の教科書は先にλ=1/θへ変換してください。

lambdaが零または負のときはどうなりますか？

指数分布はλ>0を要し、レートが正でないとモーメントは未定義です。検証失敗は課金されません。

レートと尺度のどちらのパラメータ化ですか？

レートのみです：pdf f(x)=λ e^{−λx}。変換なしにθをlambdaとして渡さないでください。

平均と標準偏差が同じになるのはなぜですか？

指数分布では、どちらもレートの逆数、つまり1をレートで割った値になるためです。この分布ならではの性質で、計算結果をすばやく確かめる目安にもなります。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/stat/exponential-mean-variance

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/exponential-mean-variance \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"lambda":2}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/exponential-mean-variance", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "lambda": 2
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/stat/exponential-mean-variance",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "lambda": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/exponential-mean-variance", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"lambda":2}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"lambda":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/exponential-mean-variance", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "lambda": 2
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "stat.exponential_mean_variance",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

本計算機は厳密に正の有限レートを一つ受け取り、短い公式文字列とともにその三つの数を返し、零または負のλは明確なinvalid_inputで拒否するため、パイプラインが無言の誤値を作りません。無料のブラウザツールと有料APIは同一の純粋同型モジュールを共有し、言語モデルも外部統計サービスも乱数シードも使わないため、宿題の解答、センサーダッシュボード、CIフィクスチャが同じ算術で揃い、成功したAPI項目は$0.002です。

レートパラメータ化と閉形式の三モーメント

出典が尺度θを述べる場合は、APIを呼ぶ前にλ=1/θへ変換してください。

入力契約、検証、応答の形

必須の有限数lambda（レートλ、厳密に0より大）を含むJSON本体をPOSTしてください。それらのキーを同時に複数与えると検証が失敗し、呼び出し側が誤ったフィールドを黙って選ぶことがありません。欠落フィールド、空文字列、非数値トークン、NaN、Infinityはフィールド名付きのinvalid_inputで失敗します。成功したAPI呼び出しの料金は公開ベースの$0.002/項目です。

指数モーメントが実務で現れる場面

きれいなJSONを返す信頼できる単一の神託があれば、採点・デモ準備・解答キー生成が加速し、毎回積分を導出し直す必要がありません。本機能は純粋なparseエンジンなので、API料金は成功項目あたり公開ベースの$0.002であり、検証失敗は前払い残高を消費しません。

技術的な質問

費用はいくらですか？

ブラウザツールは無料で端末上で動きます。API要求は成功項目あたり$0.002のKIT前払い残高を使い、無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

指数分布の平均と分散

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計算例

レートパラメータ化と閉形式の三モーメント

入力契約、検証、応答の形

指数モーメントが実務で現れる場面

活用例

宿題と確率の実験

待ち行列と信頼性のスケッチ

スクリプトとCIの数値フィクスチャ

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

レートパラメータ化と閉形式の三モーメント

入力契約、検証、応答の形

指数モーメントが実務で現れる場面

技術的な質問

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