Media y varianza exponencial
Con una tasa de 2 sucesos por hora, la espera media es de 0,5 horas, la varianza de 0,25 y la desviación típica de 0,5. Escriba la tasa λ de su distribución exponencial y obtenga los tres valores a la vez. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Lambda
- 2
- Media
- 0,5
- Varianza
- 0,25
- Std
- 0,5
La distribución exponencial es el modelo continuo clásico de tiempos de espera e intervalos entre llegadas cuando los eventos se producen a una tasa media constante sin memoria del pasado. Una vez fija el parámetro de tasa λ, tres momentos se obtienen en forma cerrada: la media es uno entre λ, la varianza es uno entre λ al cuadrado y la desviación típica es de nuevo uno entre λ.
Parametrización por tasa y los tres momentos en forma cerrada
Bajo la parametrización por tasa, una variable aleatoria continua no negativa X sigue Exp(λ) cuando su densidad es λ por e elevado a menos λx para x mayor o igual que cero, y cero en caso contrario. La tasa λ es el número esperado de eventos por unidad de tiempo, de modo que un λ mayor implica esperas típicas más cortas. Integrar x frente a esa densidad produce la media μ igual a uno entre λ.
Integrar la desviación al cuadrado respecto a la media produce la varianza σ al cuadrado igual a uno entre λ al cuadrado. La raíz cuadrada positiva de la varianza da la desviación típica σ, que vale uno entre λ y por tanto coincide con la media en escala absoluta—una propiedad distintiva de la familia exponencial que los estudiantes suelen usar como comprobación rápida.
Algunos libros prefieren una parametrización por escala con θ igual a uno entre λ; en esa notación la media es θ, la varianza es θ al cuadrado y la desviación típica es θ. La propiedad de falta de memoria afirma que la espera restante dado haber sobrevivido hasta ahora tiene la misma distribución que una espera nueva, y por eso la exponencial aparece en tiempos entre llegadas de procesos de Poisson, modelos de decaimiento radiactivo y modelos simples de fiabilidad con riesgo constante.
Como cada salida es una función racional finita solo de λ, el procedimiento es plenamente determinista: la misma tasa siempre produce la misma media, varianza y desviación típica, sin ruido de Monte Carlo y sin consulta de tablas.
Dónde aparecen los momentos exponenciales en el trabajo real
Los cursos introductorios de probabilidad y estadística asignan sin cesar problemas del tipo: dada una media de λ eventos por hora, ¿cuál es la espera esperada y cuán dispersa es? La investigación operativa y los bocetos de colas usan hipótesis exponenciales de llegada y servicio como bloques M/M; la media y la varianza de esas esperas alimentan la planificación de capacidad y argumentos simples de la ley de Little antes de simulaciones más pesadas.
Fiabilidad y supervivencia suelen partir de una tasa de riesgo constante λ, donde el tiempo medio hasta el fallo es uno entre λ y la varianza uno entre λ al cuadrado cuantifica la incertidumbre en torno a ese MTTF bajo el modelo exponencial puro. Analítica de producto y equipos de fiabilidad del sitio convierten una tasa observada de eventos por minuto en el hueco esperado entre eventos y su dispersión al construir paneles o umbrales de alerta.
Si más adelante necesita la PDF o CDF exponencial en un punto, la estimación de máxima verosimilitud de λ a partir de una muestra, conteos de Poisson, esperas geométricas en ensayos discretos o un resumen descriptivo completo de una lista numérica, trátelos como intenciones de búsqueda y landings separadas en lugar de sobrecargar esta página de calculadora de media y varianza exponencial.
Qué puede hacer con ella
Deberes y laboratorios de probabilidad
Estudiantes y evaluadores verifican μ = 1/λ, σ² = 1/λ² y σ = 1/λ para tasas de libro, incluida la regla dura de que λ no positiva es inválida.
Bocetos de colas y fiabilidad
Los ingenieros convierten una tasa de servicio o de fallo en espera esperada o MTTF más varianza antes de construir modelos de simulación más pesados.
Preguntas frecuentes
¿Cómo calculo la media y la varianza exponenciales con esta herramienta?
La respuesta devuelve mean, variance, std, el lambda limpio y una cadena de fórmula.
¿Qué fórmulas usa la calculadora?
Para X ~ Exp(λ) bajo la parametrización por tasa: media μ = 1/λ, varianza σ² = 1/λ² y desviación típica σ = 1/λ. Los libros en forma de escala deben convertir antes con λ = 1/θ.
¿Qué ocurre si lambda es cero o negativa?
La distribución exponencial exige λ > 0; cuando la tasa no es positiva los momentos quedan indefinidos. Los fallos de validación no se cobran.
¿Es la parametrización por tasa o por escala?
Solo por tasa: pdf f(x) = λ e^{−λx}. No pase θ como lambda sin convertir.
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/exponential-mean-variance \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"lambda":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/exponential-mean-variance", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"lambda": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/exponential-mean-variance",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"lambda": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/exponential-mean-variance", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"lambda":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"lambda":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/exponential-mean-variance", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"lambda": 2
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.exponential_mean_variance",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Esta calculadora toma una sola tasa finita estrictamente positiva, devuelve esos tres números con una cadena de fórmula breve y rechaza λ nula o negativa con un error invalid_input claro para que las tuberías no inventen silenciosamente un sinsentido.
Parametrización por tasa y los tres momentos en forma cerrada
Esta capacidad usa solo la forma por tasa: si su fuente indica una escala θ, convierta con λ igual a uno entre θ antes de llamar a la API.
Contrato de entrada, validación y forma de la respuesta
Una tasa nula o negativa falla con un mensaje de que la distribución exponencial no está definida cuando λ no es mayor que cero; esos fallos de validación no se facturan y no inventan una media. En el éxito el cuerpo repite el lambda limpio, devuelve mean como uno entre λ, variance como uno entre λ al cuadrado, std como uno entre λ, y una cadena de fórmula que reafirma μ igual a uno entre λ, σ al cuadrado igual a uno entre λ al cuadrado y σ igual a uno entre λ bajo la parametrización por tasa. Comprobaciones clásicas incluyen λ igual a uno, que da media uno, varianza uno y std uno; y λ igual a dos, que da media un medio, varianza un cuarto y std un medio. Conecte el formulario gratuito del navegador para deberes y comprobaciones rápidas, y llame el mismo contrato desde scripts cuando necesite evaluación masiva de tasas de servicio o de fallo. Envíe un cuerpo JSON con un número finito obligatorio llamado lambda: el parámetro de tasa λ, que debe ser estrictamente mayor que cero. El motor también acepta los alias rate, lam y el carácter Unicode λ, de modo que scripts y hojas de aula que ya hablan en esos términos no necesitan un paso de renombrado; proporcionar más de una de esas claves a la vez falla la validación para que el llamante no elija silenciosamente el campo incorrecto. Campos ausentes, cadenas vacías, tokens no numéricos, NaN e Infinity fallan con invalid_input nombrando el campo. El precio de las llamadas API correctas es la base publicada de $0.002 por ítem.
Dónde aparecen los momentos exponenciales en el trabajo real
Un único oráculo de confianza que devuelve JSON limpio acelera la calificación, la preparación de demos y la generación de claves de respuesta sin rederivar las integrales cada vez. Como esta capacidad es un motor parse puro, el precio de la API es la base publicada de $0.002 por ítem exitoso y la validación fallida no consume saldo prepago.
Casos de integración
Scripts y fixtures numéricos de CI
Tuberías y sandboxes de entrevistas llaman un contrato determinista de momentos exponenciales en lugar de reimplementar 1/λ y 1/λ² en cada lenguaje.