正弦方程式の一般解
sin θが0.5のとき、主値は30°（0.5235987756ラジアン）で、ほかの解はすべて、その補角をとり360°ずつ足すことで得られます。nπの形と2系列の形を度とラジアンの両方で示します。ブラウザで無料で使えます。
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計算例
- 値
- 0.5
- 方程式
- sin(θ)=0.5
- 主値 (rad)
- 0.5235987756
- 主値 (°)
- 30
- nπ の式 (rad)
- θ = nπ + (−1)^n · α, n ∈ ℤ, α = arcsin(a)
正弦方程式の一般解は、ひとつの角を求めたあとに教科書や試験が必ず問う内容です。sin(θ) がある実数 a に等しいとき、それを満たす実数角の無限の族は何か。本計算機は a を閉区間マイナス1から1までで受け取り、主値の逆正弦 α を求め、古典的な nπ 形 θ が nπ に (−1) の n 乗と α の積を加えたもの、対応する度の形、および両単位での二族形を返します。小さな整数 n の範囲の具体的なサンプル角により、最初の数解を手計算や単位円と照合できます。実数上の正弦はその範囲を出ないためです。
sin(θ)=a の意味と符号が入れ替わる nπ 族
実数直線上で正弦は周期 2π で原点について奇関数です。したがってマイナス1から1までを含む任意の固定 a について、正弦が a となる角は無限にあります。主解はマイナス π/2 から π/2 までの閉区間にただひとつある、sin(alpha) が a に等しい alpha です。
これは科学電卓や Math.asin が返す a の逆正弦そのものです。他のすべての実解は、その主値を単位円上で反射し半周分を加えることで得られます。両方の反射を符号でまとめた教科書の簡潔な形が、theta が nπ に (−1) の n 乗と alpha の積を加えたもの（n はすべての整数）です。
n が偶数なら符号は正で alpha に π の偶数倍が加わり、n が奇数なら符号が反転して第二象限の補角に π の奇数倍が加わります。同等に二族に分けても書けます。theta が 2kπ に alpha を加えたもの、または 2kπ に π から alpha を引いたものを加えたもの（k は整数）です。
この二族は単一の nπ 公式と同じ集合を覆います。度では π を180度、2π を360度に置き換えれば同じ恒等式が成り立ちます。確認用の点として a が0（π の整数倍）、a が1/2（alpha が30度または π/6）、a が1（alpha が90度または π/2）、a が−1（alpha が−90度）があります。
活用例
授業での一般解チェック
学習者に sin(θ)=a の a を入力させ、教科書の方法に照らして nπ + (−1)^n α 形と度・ラジアンのサンプル角を確認します。
試験と LMS の自動採点
正弦方程式の一般解項目を、|a|>1 を拒否し安定して丸めたサンプル角を返す決定的オラクルで採点します。
ノートと位相の復元
測定した正弦比を、完全な数式処理ライブラリを導入せずにスクリプト上で実数角の全族に展開します。
よくある質問
sin(θ) = a の一般解は何ですか？
a が [-1, 1] のとき α = arcsin(a) とおき、すべての整数 n について θ = nπ + (−1)^n · α です。同等に整数 k について θ = 2kπ + α または θ = 2kπ + (π − α) です。
|a| が 1 より大きいとどうなりますか？
実数上で正弦は [-1, 1] の外の値を取らないため sin(θ)=a に実解はなく、呼び出しは課金されません。
度とラジアンで式はどう違いますか？
構造は同じで、π を 180°、2π を 360° に置き換えます。主値 α は α° = α · 180/π で変換します。同じ整数 n について両単位でサンプル角を列挙します。
sin θが0.5になる角度はどう求めますか？
主値は30°です。すべての解は、30°に360°の倍数を足したものと、補角である180°から30°を引いた角に360°の倍数を足したものです。確認用に具体的な解の例も表示します。
一般解が2つの系列に分かれるのはなぜですか？
1回転の中にサインが等しい角が2つあるからです。主値とその補角で、0.5なら30°と、180°から30°を引いた角です。それぞれに360°を足していくと、すべての解がそろいます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"value":0.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"value": 0.5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"value": 0.5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"value":0.5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"value":0.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"value": 0.5
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.general_solution_sine",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
絶対値が1を超える入力は invalid_input として拒否されます。
sin(θ)=a の意味と符号が入れ替わる nπ 族
本エンドポイントは常に、数値 alpha を埋め込んだ記号的 nπ 形と二族の言い直しの両方を返すので、教材に合う表記をそのまま写せます。
入力契約・応答フィールド・エラーの扱い
別名 a、rhs、sine、sin を受け付けるため、表計算やフォームは列名を変えずに再利用できます。y が sin(theta)、水平線 y が a のスケッチが必要なら記号族をご自身のグラフと組み合わせてください。必須の有限数 value を、sen ではなく sin(theta) が a に等しい右辺 a として JSON 本体で POST してください。値は閉区間マイナス1から1に入っている必要があり、その外では実解がなく、ドメインを示す invalid_input で失敗します。任意の precision（別名 decimals、dp）は0から15の整数で既定10、応答のすべての数値フィールドを丸めます。任意の sample_n（別名 n_range、samples）は0から5の整数で既定2、列挙する具体角の数を制御します。ハンドラは負の sample_n から正の sample_n までの各整数 n について theta を返します。成功時の本体にはエコーされた値、sin(θ)=0.5 のような方程式文字列、alpha の principal_radians と principal_degrees、抽象 nπ 規則の formula_npi_radians と formula_npi_degrees、二枝形の formula_two_family_radians と formula_two_family_degrees、数値 alpha を代入した general_solution_radians と general_solution_degrees、要求された整数の samples_n と samples_radians と samples_degrees、短い formula 要約が含まれます。欠落フィールド、非数値トークン、Infinity、NaN は invalid_input で失敗し課金されません。本エンドポイントは角の族のみを解き、プロットは出力しません。
正弦の一般解 API が役立つ場面
教室や学習プラットフォームでは、主逆正弦から完全な族へ移るときに符号を落とさないよう、学習者が nπ 形と短いサンプル角の両方を確認するために正弦方程式の一般解計算機を使います。試験生成器や LMS 自動採点は、|a| が1より大きい場合を実解なしと判定し角を捏造せず、フィクスチャ比較用に安定して丸めたサンプルを返す決定的オラクルを必要とします。検証失敗は残高を消費しません。物理や工学のノートでは、測定した正弦比を満たす周期内のすべての角（鉛直成分からの仰角、正規化信号からの位相、機構の関節角など）がしばしば必要で、1パラメータ問題のために完全な数式処理系を引き込む代わりに小さな parse API を呼び出せます。実装は純粋 parse の tier A のため、成功した各呼び出しはモデルトークンも外向きネットワークもなく公開の基本料金 $0.002 です。リクエストを小さく保ち、丸めたサンプルをテストに固定すれば、独自の記号数学基盤を立てずに宿題・競技の答え・エッジワーカー向けに再現可能な一般解が得られます。
技術的な質問
sample_n と precision フィールドの役割は？
sample_n（既定 2）は n を −sample_n から +sample_n までとして θ を列挙します。precision（既定 10、最大 15）は安定した golden と表示のため全数値フィールドの小数桁を設定します。
正弦方程式の一般解計算機の料金は？
ブラウザツールは無料です。API 要求は成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 です。無効な入力は課金されません。