Solução geral sen θ=a
Se sen θ vale 0,5, o ângulo principal é 30°, ou 0,5235987756 radiano, e todas as outras soluções saem dele tomando o seu suplementar e somando voltas inteiras de 360°. A forma nπ e a forma em duas famílias aparecem em graus e radianos. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Exemplo resolvido
- Valor
- 0,5
- Equação
- sin(θ)=0.5
- Valor principal (rad)
- 0,5235987756
- Valor principal (°)
- 30
- Fórmula nπ (rad)
- θ = nπ + (−1)^n · α, n ∈ ℤ, α = arcsin(a)
A solução geral de uma equação de seno responde à pergunta que todo livro didático e toda prova fazem depois de se achar um ângulo: se sen(θ) é igual a um número real a, qual é a família infinita completa de ângulos reais que funcionam? Esta calculadora recebe a no intervalo fechado de menos um a um, calcula o arcoseno principal α e devolve a forma clássica n-pi: θ igual a n pi mais menos um elevado a n vezes alpha, junto com a forma equivalente em graus e a família dupla em ambas as unidades. Ângulos de amostra concretos para um intervalo pequeno de inteiros n permitem conferir à mão as primeiras soluções ou compará-las com o círculo unitário.
O que sen(θ) = a significa e a família nπ com sinal alternado
Na reta real a função seno é periódica com período dois pi e ímpar em relação à origem, de modo que para qualquer a fixo entre menos um e um inclusive existem infinitos ângulos cujo seno é a. A solução principal é o único alpha no intervalo fechado de menos pi sobre dois a pi sobre dois tal que sen(alpha) é igual a a; isso é exatamente o arcoseno de a devolvido por calculadoras científicas e por Math.asin.
Toda outra solução real é gerada a partir desse valor principal refletindo no círculo unitário e somando meias voltas completas. A forma compacta dos manuais que codifica ambas as reflexões é theta igual a n pi mais menos um elevado a n vezes alpha, com n percorrendo todos os inteiros. Quando n é par o sinal é positivo e recupera-se alpha mais múltiplos pares de pi; quando n é ímpar o sinal inverte e obtém-se o ângulo suplementar do segundo quadrante mais múltiplos ímpares de pi.
De forma equivalente podem-se escrever duas famílias separadas: theta igual a dois k pi mais alpha, ou theta igual a dois k pi mais pi menos alpha, com k inteiro. Essas duas famílias cobrem o mesmo conjunto que a fórmula única n-pi. Em graus valem as mesmas identidades após trocar pi por cento e oitenta graus e dois pi por trezentos e sessenta graus.
Pontos de controle usuais: a igual a zero (soluções em múltiplos inteiros de pi), a igual a um meio (alpha igual a trinta graus ou pi sobre seis), a igual a um (alpha igual a noventa graus ou pi sobre dois) e a igual a menos um (alpha igual a menos noventa graus).
Casos de uso
Checagens de solução geral em sala
Permita que os alunos digitem a em sen(θ)=a e verifiquem a forma nπ + (−1)^n α mais ângulos de amostra em graus e radianos em relação aos métodos do livro.
Correção automática de provas e LMS
Corrija itens de solução geral de equações de seno com um oráculo determinístico que rejeita |a|>1 e devolve ângulos de amostra arredondados e estáveis.
Cadernos e recuperação de fase
Expanda uma razão seno medida na família real completa de ângulos em scripts sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
Qual é a solução geral de sen(θ) = a?
Para a em [-1, 1], seja α = arcsin(a). Então θ = nπ + (−1)^n · α para todo inteiro n. De forma equivalente θ = 2kπ + α ou θ = 2kπ + (π − α) com k inteiro.
O que acontece se |a| for maior que 1?
O seno nunca assume valores fora de [-1, 1] nos reais, logo sen(θ)=a não tem solução real e a chamada não é cobrada.
Como graus e radianos diferem nas fórmulas?
A estrutura é a mesma: troque π por 180° e 2π por 360°. O principal α converte-se com α° = α · 180/π. Ângulos de amostra são listados nas duas unidades para os mesmos inteiros n.
Como resolver sen θ igual a 0,5?
O ângulo principal é 30°. O conjunto completo é 30° mais qualquer múltiplo de 360°, junto com o seu suplementar, 180° menos 30°, mais qualquer múltiplo de 360°. Soluções de exemplo são listadas para conferência.
Por que a solução geral tem duas famílias de ângulos?
Porque em cada volta completa há dois ângulos com o mesmo seno: o ângulo principal e o seu suplementar. Para 0,5 eles são 30° e 180° menos 30°, e somando voltas inteiras de 360° a cada um obtêm-se todas as soluções.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"value":0.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"value": 0.5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"value": 0.5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"value":0.5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"value":0.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"value": 0.5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.general_solution_sine",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Entradas com valor absoluto maior que um são rejeitadas como invalid_input porque o seno nunca sai desse intervalo nos reais.
O que sen(θ) = a significa e a família nπ com sinal alternado
Este endpoint sempre devolve tanto a forma simbólica n-pi com o alpha numérico inserido quanto o reenunciado em duas famílias, para que você copie a convenção preferida do seu programa.
Contrato de entrada, campos de resposta e erros
Envie por POST um corpo JSON com o número finito obrigatório value igual ao lado direito a de sen(theta) igual a a. Os alias a, rhs, sine e sin são aceitos para que planilhas e formulários reutilizem colunas sem renomear. O valor deve estar no intervalo fechado de menos um a um; fora desse intervalo a equação de seno não tem solução real e a tarefa falha com invalid_input indicando o domínio. A precisão opcional precision, com alias decimals e dp, é um inteiro de zero a quinze com padrão dez e arredonda todos os campos numéricos da resposta. Em sucesso o corpo inclui o valor ecoado, uma string de equação como sen(θ)=0.5, principal_radians e principal_degrees para alpha, formula_npi_radians e formula_npi_degrees com as regras abstratas n-pi, formula_two_family_radians e formula_two_family_degrees para a forma de dois ramos, general_solution_radians e general_solution_degrees com o alpha numérico substituído, samples_n mais samples_radians e samples_degrees para os inteiros pedidos, e uma string curta de resumo da fórmula. Campos ausentes, tokens não numéricos, Infinity e NaN falham com invalid_input e não são cobrados. Combine as famílias simbólicas com o seu próprio gráfico se precisar de um esboço de y igual a sen(theta) contra a horizontal y igual a a; este endpoint só resolve a família de ângulos e não emite gráficos.
Onde uma API de solução geral do seno agrega valor
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora da solução geral da equação de seno para que os alunos confiram tanto a forma n-pi quanto uma lista curta de ângulos de amostra sem perder um sinal ao passar do arcoseno principal à família completa. Validação falha não consome saldo. Mantenha as requisições pequenas, fixe as amostras arredondadas nos testes e você obtém soluções gerais reproduzíveis para lição de casa, gabaritos de concurso e workers de borda sem montar infraestrutura simbólica própria. Cadernos de física e engenharia muitas vezes precisam de todos os ângulos de um período que satisfazem uma razão seno medida —por exemplo elevação a partir de uma componente vertical, fase a partir de um sinal normalizado ou ângulos de um mecanismo— e chamar uma API de parse pequena evita puxar um sistema completo de álgebra computacional para um problema de um parâmetro. Como a implementação é parse pura tier A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Perguntas técnicas
Para que servem os campos sample_n e precision?
sample_n (padrão 2) lista θ para n de −sample_n a +sample_n. precision (padrão 10, máximo 15) define as casas decimais de todos os campos numéricos para goldens estáveis e exibição.
Quanto custa a calculadora da solução geral da equação de seno?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos de API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.