Allgemeine Lösung sin θ=a
Ist sin θ gleich 0,5, beträgt der Hauptwinkel 30°, also 0,5235987756 im Bogenmaß, und alle weiteren Lösungen folgen daraus über den Supplementwinkel und ganze Umdrehungen von 360°. Angegeben werden die nπ-Form und die Form mit zwei Lösungsscharen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Wert
- 0,5
- Gleichung
- sin(θ)=0.5
- Hauptwert (rad)
- 0,5235987756
- Hauptwert (°)
- 30
- Formel nπ (rad)
- θ = nπ + (−1)^n · α, n ∈ ℤ, α = arcsin(a)
Die allgemeine Lösung einer Sinusgleichung beantwortet die Frage, die jedes Lehrbuch und jede Prüfung stellt, sobald ein Winkel gefunden ist: Wenn sin(θ) einer gegebenen reellen Zahl a entspricht, wie lautet die vollständige unendliche Familie reeller Winkel, die das erfüllen? Dieser Rechner nimmt a im abgeschlossenen Intervall von minus eins bis eins, berechnet den Hauptwert des Arkussinus α und liefert die klassische n-pi-Form θ gleich n pi plus minus eins hoch n mal alpha, zusammen mit der Gradform und der äquivalenten Zwei-Familien-Form in beiden Einheiten. Konkrete Beispielwinkel für einen kleinen Bereich ganzer Zahlen n erlauben es, die ersten Lösungen von Hand oder am Einheitskreis zu prüfen.
Was sin(θ) = a bedeutet und die nπ-Familie mit Vorzeichenwechsel
Auf der reellen Geraden ist die Sinusfunktion periodisch mit Periode zwei pi und ungerade bezüglich des Ursprungs, sodass es für jedes feste a zwischen minus eins und eins einschließlich unendlich viele Winkel gibt, deren Sinus a ist. Die Hauptlösung ist das eindeutige alpha im abgeschlossenen Intervall von minus pi durch zwei bis plus pi durch zwei, für das sin(alpha) gleich a ist; genau das ist der Arkussinus von a, den wissenschaftliche Taschenrechner und Math.asin liefern.
Jede weitere reelle Lösung entsteht aus diesem Hauptwert durch Spiegelung am Einheitskreis und Addition ganzer Halbwendungen. Die kompakte Lehrbuchform, die beide Spiegelungen kodiert, lautet theta gleich n pi plus minus eins hoch n mal alpha, wobei n alle ganzen Zahlen durchläuft. Bei geradem n ist das Vorzeichen positiv und man erhält alpha plus gerade Vielfache von pi; bei ungeradem n kehrt sich das Vorzeichen um und man erhält den Supplementwinkel im zweiten Quadranten plus ungerade Vielfache von pi.
Gleichwertig kann man zwei getrennte Familien schreiben: theta gleich zwei k pi plus alpha oder theta gleich zwei k pi plus pi minus alpha, mit k ganzzahlig. Diese beiden Familien decken dieselbe Menge ab wie die einzelne n-pi-Formel. In Grad gelten dieselben Identitäten, nachdem pi durch einhundertachtzig Grad und zwei pi durch dreihundertsechzig Grad ersetzt wurden.
Typische Kontrollpunkte: a gleich null (Lösungen bei ganzzahligen Vielfachen von pi), a gleich ein halb (alpha gleich dreißig Grad oder pi sechstel), a gleich eins (alpha gleich neunzig Grad oder pi halb) und a gleich minus eins (alpha gleich minus neunzig Grad). Dieser Endpunkt liefert stets sowohl die symbolische n-pi-Form mit eingesetztem numerischem alpha als auch die Zwei-Familien-Umformulierung, damit Sie die von Ihrem Lehrplan bevorzugte Schreibweise übernehmen können.
Anwendungsfälle
Unterrichtskontrollen der allgemeinen Lösung
Lassen Sie Lernende a für sin(θ)=a eingeben und die Form nπ + (−1)^n α plus Beispielwinkel in Grad und Bogenmaß mit den Methoden des Lehrbuchs abgleichen.
Automatische Korrektur von Prüfungen und LMS
Bewerten Sie Aufgaben zur allgemeinen Lösung von Sinusgleichungen mit einem deterministischen Orakel, das |a|>1 ablehnt und stabile gerundete Beispielwinkel liefert.
Notebooks und Phasenrückgewinnung
Erweitern Sie ein gemessenes Sinusverhältnis in Skripten zur vollständigen reellen Winkelfamilie, ohne eine volle Computer-Algebra-Bibliothek zu importieren.
Häufige Fragen
Wie lautet die allgemeine Lösung von sin(θ) = a?
Für a in [-1, 1] sei α = arcsin(a). Dann ist θ = nπ + (−1)^n · α für jede ganze Zahl n. Gleichwertig θ = 2kπ + α oder θ = 2kπ + (π − α) für ganzzahliges k.
Was geschieht, wenn |a| größer als 1 ist?
Der Sinus nimmt auf den reellen Zahlen nie Werte außerhalb von [-1, 1] an, daher hat sin(θ)=a keine reelle Lösung und der Aufruf wird nicht abgerechnet.
Wie unterscheiden sich Grad und Bogenmaß in den Formeln?
Die Struktur ist dieselbe: ersetzen Sie π durch 180° und 2π durch 360°. Der Hauptwert α wird mit α° = α · 180/π umgerechnet. Beispielwinkel erscheinen in beiden Einheiten für dieselben ganzen Zahlen n.
Wie löse ich sin θ gleich 0,5?
Der Hauptwinkel ist 30°. Die vollständige Lösung besteht aus 30° plus jedem Vielfachen von 360° sowie dem Supplementwinkel, 180° minus 30°, plus jedem Vielfachen von 360°. Beispiellösungen werden zur Kontrolle mit ausgegeben.
Warum hat die allgemeine Lösung zwei Lösungsscharen?
Weil in jeder vollen Umdrehung zwei Winkel denselben Sinus haben: der Hauptwinkel und sein Supplementwinkel. Bei 0,5 sind das 30° und 180° minus 30°; addiert man jeweils ganze Umdrehungen von 360°, erhält man alle Lösungen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
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Endpunkt
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Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"value":0.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine", {
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headers: {
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"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"value": 0.5
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"value":0.5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"value":0.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"value": 0.5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.general_solution_sine",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Eingaben mit Absolutbetrag größer als eins werden als invalid_input abgelehnt, weil der Sinus auf den reellen Zahlen dieses Intervall nie verlässt.
Eingabevertrag, Antwortfelder und Fehlerverhalten
Die Aliasse a, rhs, sine und sin werden akzeptiert, damit Tabellen und Formulare Spalten ohne Umbenennung wiederverwenden können. Kombinieren Sie die symbolischen Familien mit eigener Grafik, falls Sie eine Skizze von y gleich sin(theta) gegen die Horizontale y gleich a brauchen; dieser Endpunkt löst nur die Winkelfamilie und erzeugt keine Plots. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit der erforderlichen endlichen Zahl value gleich der rechten Seite a von sin(theta) gleich a. Der Wert muss im abgeschlossenen Intervall von minus eins bis eins liegen; außerhalb hat die Sinusgleichung keine reelle Lösung und die Aufgabe scheitert mit invalid_input unter Nennung des Definitionsbereichs. Die optionale precision mit Aliassen decimals und dp ist eine ganze Zahl von null bis fünfzehn, standardmäßig zehn, und rundet alle numerischen Felder der Antwort. Bei Erfolg enthält der Körper den widergegebenen Wert, eine Gleichung wie sin(θ)=0.5, principal_radians und principal_degrees für alpha, formula_npi_radians und formula_npi_degrees mit den abstrakten n-pi-Regeln, formula_two_family_radians und formula_two_family_degrees für die Zwei-Zweig-Form, general_solution_radians und general_solution_degrees mit eingesetztem numerischem alpha, samples_n plus samples_radians und samples_degrees für die angeforderten ganzen Zahlen sowie eine kurze Formel-Zusammenfassung. Fehlende Felder, nichtnumerische Token, Infinity und NaN scheitern mit invalid_input und werden nicht abgerechnet.
Wo eine API zur allgemeinen Sinuslösung Nutzen stiftet
Unterricht und Tutorenplattformen nutzen einen Rechner für die allgemeine Lösung der Sinusgleichung, damit Lernende sowohl die n-pi-Form als auch eine kurze Liste von Beispielwinkeln prüfen können, ohne beim Übergang vom Haupt-Arkussinus zur vollen Familie ein Vorzeichen zu verlieren. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die gerundeten Proben in Tests und erhalten Sie reproduzierbare allgemeine Lösungen für Hausaufgaben, Wettbewerbsschlüssel und Edge-Worker, ohne eigene symbolische Infrastruktur aufzubauen. Physik- und Ingenieur-Notebooks brauchen oft alle Winkel einer Periode, die ein gemessenes Sinusverhältnis erfüllen — etwa Elevation aus einer Vertikalkomponente, Phase aus einem normalisierten Signal oder Gelenkwinkel — und der Aufruf einer kleinen Parse-API erspart ein volles Computer-Algebra-System für ein Ein-Parameter-Problem. Weil die Implementierung reines Parse-Tier A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz.
Technische Fragen
Wozu dienen die Felder sample_n und precision?
sample_n (Standard 2) listet θ für n von −sample_n bis +sample_n. precision (Standard 10, max 15) setzt die Dezimalstellen aller numerischen Felder für stabile Goldens und die Anzeige.
Was kostet der Rechner zur allgemeinen Lösung der Sinusgleichung?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingaben werden nicht berechnet.