Solution générale sin θ=a
Si sin θ vaut 0,5, l’angle principal est 30°, soit 0,5235987756 radian, et toutes les autres solutions en découlent en prenant son supplémentaire et en ajoutant des tours entiers de 360°. La forme nπ et la forme en deux familles sont données en degrés et radians. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Valeur
- 0,5
- Équation
- sin(θ)=0.5
- Valeur principale (rad)
- 0,5235987756
- Valeur principale (°)
- 30
- Formule nπ (rad)
- θ = nπ + (−1)^n · α, n ∈ ℤ, α = arcsin(a)
La solution générale d'une équation en sinus répond à la question que tout manuel et tout examen posent après avoir trouvé un angle : si sin(θ) égale un réel a donné, quelle est la famille infinie complète d'angles réels qui conviennent ? Ce calculateur prend a dans l'intervalle fermé de moins un à un, calcule l'arcsinus principal α et renvoie la forme classique n-pi : θ égal à n pi plus moins un à la puissance n fois alpha, avec la forme en degrés correspondante et la forme à deux familles dans les deux unités. Des angles d'exemple concrets pour une petite plage d'entiers n permettent de vérifier à la main les premières solutions ou de les confronter au cercle unité.
Ce que signifie sin(θ) = a et la famille nπ à signe alterné
Sur la droite réelle la fonction sinus est périodique de période deux pi et impaire par rapport à l'origine, si bien que pour tout a fixé entre moins un et un inclus il existe une infinité d'angles dont le sinus vaut a. La solution principale est l'unique alpha dans l'intervalle fermé de moins pi sur deux à pi sur deux tel que sin(alpha) égale a ; c'est exactement l'arcsinus de a renvoyé par les calculatrices scientifiques et par Math.asin.
Toute autre solution réelle se construit à partir de cette valeur principale en réfléchissant sur le cercle unité et en ajoutant des demi-tours complets. La forme compacte des manuels qui encode les deux réflexions est theta égal à n pi plus moins un à la puissance n fois alpha, où n parcourt tous les entiers.
Lorsque n est pair le signe est positif et l'on retrouve alpha plus des multiples pairs de pi ; lorsque n est impair le signe s'inverse et l'on obtient l'angle supplémentaire du second quadrant plus des multiples impairs de pi. De façon équivalente on peut écrire deux familles séparées : theta égal à deux k pi plus alpha, ou theta égal à deux k pi plus pi moins alpha, avec k entier. Ces deux familles recouvrent le même ensemble que la formule unique n-pi.
En degrés les mêmes identités valent après remplacement de pi par cent quatre-vingts degrés et de deux pi par trois cent soixante degrés. Points de contrôle usuels : a égal à zéro (solutions aux multiples entiers de pi), a égal à un demi (alpha égal à trente degrés ou pi sur six), a égal à un (alpha égal à quatre-vingt-dix degrés ou pi sur deux) et a égal à moins un (alpha égal à moins quatre-vingt-dix degrés).
Ce point d'accès renvoie toujours la forme symbolique n-pi avec l'alpha numérique inséré et le reformulé à deux familles, pour que vous puissiez copier la convention préférée de votre programme.
Cas d’usage
Contrôles de solution générale en classe
Laissez les élèves saisir a pour sin(θ)=a et vérifier la forme nπ + (−1)^n α plus des angles d'exemple en degrés et radians face aux méthodes du manuel.
Notation automatique d'examens et LMS
Notez les items de solution générale d'équations en sinus avec un oracle déterministe qui rejette |a|>1 et renvoie des angles d'exemple arrondis stables.
Carnets et récupération de phase
Étendez un rapport sinus mesuré à la famille réelle complète d'angles dans des scripts sans importer une bibliothèque complète d'algèbre informatique.
Questions fréquentes
Quelle est la solution générale de sin(θ) = a ?
Pour a dans [-1, 1], soit α = arcsin(a). Alors θ = nπ + (−1)^n · α pour tout entier n. De façon équivalente θ = 2kπ + α ou θ = 2kπ + (π − α) pour k entier.
Que se passe-t-il si |a| est supérieur à 1 ?
Le sinus ne prend jamais de valeurs hors de [-1, 1] sur les réels, donc sin(θ)=a n'a pas de solution réelle et l'appel n'est pas facturé.
En quoi degrés et radians diffèrent-ils dans les formules ?
La structure est la même : remplacez π par 180° et 2π par 360°. Le principal α se convertit avec α° = α · 180/π. Les angles d'exemple sont listés dans les deux unités pour les mêmes entiers n.
Comment résoudre sin θ égal à 0,5 ?
L’angle principal est 30°. L’ensemble complet comprend 30° plus tout multiple de 360°, ainsi que son supplémentaire, 180° moins 30°, plus tout multiple de 360°. Des solutions d’exemple sont listées pour vérification.
Pourquoi la solution générale comporte-t-elle deux familles d’angles ?
Parce que deux angles par tour complet ont le même sinus : l’angle principal et son supplémentaire. Pour 0,5, ce sont 30° et 180° moins 30°, et en ajoutant des tours entiers de 360° à chacun, on obtient toutes les solutions.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
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curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"value":0.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine", {
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"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/general-solution-sine", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"value": 0.5
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.general_solution_sine",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Les entrées de valeur absolue supérieure à un sont rejetées en invalid_input car le sinus ne quitte jamais cet intervalle sur les réels.
Contrat d'entrée, champs de réponse et erreurs
Associez les familles symboliques à votre propre graphique si vous avez besoin d'un croquis de y égal à sin(theta) face à l'horizontale y égal à a ; ce point d'accès ne résout que la famille d'angles et n'émet pas de tracés. Envoyez en POST un corps JSON avec le nombre fini obligatoire value égal au second membre a de sin(theta) égale a. Les alias a, rhs, sine et sin sont acceptés afin que tableurs et formulaires réutilisent des colonnes sans les renommer. La valeur doit appartenir à l'intervalle fermé de moins un à un ; hors de cet intervalle l'équation en sinus n'a pas de solution réelle et la tâche échoue avec invalid_input en nommant le domaine. La précision optionnelle precision, alias decimals et dp, est un entier de zéro à quinze par défaut dix et arrondit tous les champs numériques de la réponse. L'option sample_n, alias n_range et samples, est un entier de zéro à cinq par défaut deux et contrôle le nombre d'angles concrets listés : le gestionnaire renvoie theta pour chaque entier n de moins sample_n à plus sample_n. En cas de succès le corps contient la valeur renvoyée, une chaîne d'équation comme sin(θ)=0.5, principal_radians et principal_degrees pour alpha, formula_npi_radians et formula_npi_degrees pour les règles abstraites n-pi, formula_two_family_radians et formula_two_family_degrees pour la forme à deux branches, general_solution_radians et general_solution_degrees avec l'alpha numérique substitué, samples_n plus samples_radians et samples_degrees pour les entiers demandés, et une courte chaîne de résumé de formule. Champs manquants, jetons non numériques, Infinity et NaN échouent avec invalid_input et ne sont pas facturés.
Où une API de solution générale du sinus est utile
Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur de solution générale d'équation en sinus pour que les apprenants vérifient à la fois la forme n-pi et une courte liste d'angles d'exemple sans perdre un signe en passant de l'arcsinus principal à la famille complète. Une validation échouée ne consomme pas de solde. Gardez les requêtes petites, figez les échantillons arrondis dans les tests, et vous obtenez des solutions générales reproductibles pour devoirs, clés de concours et workers en bordure sans monter d'infrastructure symbolique propre. Les carnets de physique et d'ingénierie ont souvent besoin de tous les angles d'une période qui satisfont un rapport sinus mesuré — par exemple l'élévation depuis une composante verticale, la phase depuis un signal normalisé ou les angles d'un mécanisme — et appeler une petite API de parse évite de tirer un système complet d'algèbre informatique pour un problème à un paramètre. Comme l'implémentation est parse pure de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.
Questions techniques
À quoi servent les champs sample_n et precision ?
sample_n (défaut 2) liste θ pour n de −sample_n à +sample_n. precision (défaut 10, max 15) fixe les décimales de tous les champs numériques pour des goldens stables et l'affichage.
Combien coûte le calculateur de solution générale d'équation en sinus ?
L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.