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二項展開の特定の項を求める計算機

Q: 指定する項の位置は1から始まりますか？

はい。 位置 1 が第1項です。一般項を適用する前に k = position - 1 へ変換します。

(2x − 3y)^5の第3項は720x^3y^2です。指数と項の位置、二つの係数を入力するだけで、展開全体を書き出さずにその一項が分かります。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

N: 5
位置: 3
係数 a: 2
係数 b: -3
変数 a: x
変数 b: y

結果

K: 2
二項係数: 10
係数: 720
a のべき乗: 3

この計算機は、多項式全体を展開せずに (a*x + b*y)^n の指定された1項だけを正確に求めます。非負整数の指数 n と、1から数える項の位置を入力してください。必要に応じて整数の係数 a、b と変数名も指定できます。結果には二項係数、符号を含む完全な係数、各変数の指数、読みやすい項が表示されます。厳密な整数演算によって大きな係数も保持され、一般項の公式も確認できるため、学習、採点、再現可能なソフトウェア処理にご利用いただけます。

一般項の公式で指定位置を確認します

(a*x + b*y)^n の展開では、左から右へ項を1から数えます。一般項は T_r = C(n,r-1) * (a*x)^(n-r+1) * (b*y)^(r-1) で、r が求める位置です。計算機は最初に1始まりの位置を k = r - 1 に変換します。

k は二項定理で一般的な0始まりの添字です。指数 n の展開には正確に n + 1 個の項があるため、position は 1 以上 n + 1 以下でなければなりません。結果には位置と k の両方が含まれるため、添字の流儀が明確になり、1つずれる誤りを見つけやすくなります。

係数と変数の指数を読み取ります

二項式に数値係数が含まれる場合、二項係数 C(n,k) は完全な数値係数の一部分にすぎません。符号は2番目の係数の累乗から生じます。変数を含む項では係数 1 を省略し、-1 は先頭のマイナス記号で示します。

係数が 0 なら、その正の累乗を含む項は正しく 0 になります。

活用例

教科書の指定項問題

先行する項をすべて書かずに、指定された項、整理済みの係数、2つの指数を直接求められます。

代数問題の自動採点

教科書上の位置と公式の添字を明示した厳密な出力により、学習者の係数と指数を比較できます。

授業とワークシートの作成

完全な数式処理システムを組み込まずに、指数、位置、整数係数、変数名を変えた再現可能な解答を生成できます。

よくある質問

指定する項の位置は1から始まりますか？

はい。位置 1 が第1項です。一般項を適用する前に k = position - 1 へ変換します。

(a*x + b*y)^n には何個の項がありますか？

n が非負整数なら有限二項展開には n + 1 個の項があるため、有効な最大位置は n + 1 です。

一般項の公式は何ですか？

第r項は C(n, r − 1) × (ax)^(n − r + 1) × (by)^(r − 1) です。(2x − 3y)^5の第3項なら 10 · (2x)^3 · (−3y)^2 となり、720x^3y^2 になります。

係数が二項係数と違うのはなぜですか？

二項係数は組み合わせの数だけを表し、項の係数にはそれぞれ累乗したaとbの係数も掛かるからです。(2x − 3y)^5の第3項では二項係数は10ですが、係数全体は720です。

項の符号はどう決まりますか？

二項係数はいつも正なので、符号は負の係数を累乗した結果で決まります。(2x − 3y)^5の第3項では−3が2乗されるため、正の720x^3y^2になります。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":5,"position":3}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 5,
    "position": 3
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 5,
    "position": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":5,"position":3}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":5,"position":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "n": 5,
  "position": 3
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.binomial_specific_term",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

一般項の公式で指定位置を確認します

その後、power_a = n - k と power_b = k を設定します。したがって、最初の変数の指数は n から1ずつ減り、2番目の変数の指数は 0 から1ずつ増えます。たとえば位置 3 では k = 2 となり、指数は n - 2 と 2 です。

係数と変数の指数を読み取ります

計算機は C(n,k) を求めた後、coefficient_a の power_a 乗と coefficient_b の power_b 乗を掛けます。そのため、C(n,k) が正でも (2x - 3y)^5 の項は負になることがあります。結果では binomial_coefficient と coefficient を分け、power_a、power_b、variable_a、variable_b、簡潔な積 term も返します。JSON で安全な整数は数値として、それを超える整数は全桁を保つ10進文字列として返すため、浮動小数点の丸めは入りません。

入力を選び、答えを検算して利用します

指数は 0 から公開済みの安全上限まで使用でき、position は実際の項数に照らして検証されます。変数名は英字から始まる短い識別子にします。結果を確認する際は、最初に指数、次に C(n,k)、最後に係数の累乗を含む完全な係数を照合すると誤りを切り分けやすくなります。n と position は JSON の整数で指定してください。任意項目 coefficient_a と coefficient_b の既定値は 1 なので、(x + y)^n と同じ入力になります。減算には、(x - y)^n に対する coefficient_b = -1 のように負の整数を指定してください。必須項目がない場合や不正な場合は、推測値ではなく invalid_input が返ります。ブラウザー版は個別の演習に便利で、サーバーと SDK では成功した1項当たり $0.002 で同じ決定的な契約を利用できます。ネットワーク、乱数、時計を使わないため、同じ入力からは常に同じ JSON が得られます。

技術的な質問

binomial_coefficient と coefficient の違いは何ですか？

binomial_coefficient は C(n,k) です。coefficient には coefficient_a の power_a 乗と coefficient_b の power_b 乗、および符号も含まれます。

(2x - 3y)^n の項も求められますか？

はい。coefficient_a を 2、coefficient_b を -3 に設定してください。返される完全な係数には符号と各係数の累乗が反映されます。

非常に大きな正確な係数はどの形式で返りますか？

安全な JSON 整数は数値で返り、それを超える値は丸めで桁を失わないよう10進文字列で返ります。

KITの完全なドキュメントを見る →

二項展開の特定の項を求める計算機

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計算例

一般項の公式で指定位置を確認します

係数と変数の指数を読み取ります

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関連ツール

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エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

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技術的な注記

一般項の公式で指定位置を確認します

係数と変数の指数を読み取ります

入力を選び、答えを検算して利用します

技術的な質問

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