Termine specifico di uno sviluppo binomiale
Il terzo termine di (2x − 3y)^5 è 720x^3y^2: indichi la potenza, la posizione e i due moltiplicatori e ottenga quel termine senza scrivere lo sviluppo completo. Gratis nel suo browser.
- Gratis
- Funziona nel suo browser
- Senza registrazione
- I suoi dati restano sul dispositivo
Esegui gratis nel browser
Esempio risolto
- N
- 5
- Posizione
- 3
- Coefficiente a
- 2
- Coefficiente b
- -3
- Variabile a
- x
- Variabile b
- y
- K
- 2
- Coefficiente binomiale
- 10
- Coefficiente
- 720
- Potenza di a
- 3
Questo calcolatore determina esattamente il termine richiesto di (a*x + b*y)^n senza sviluppare l'intero polinomio. Inserisca l'esponente non negativo n e la posizione del termine, numerata da 1; facoltativamente può impostare i moltiplicatori interi a e b e i nomi delle variabili. Il risultato mostra il coefficiente binomiale, il coefficiente completo con segno, l'esponente di ciascuna variabile e un termine leggibile. L'aritmetica intera esatta preserva i coefficienti grandi, mentre la formula generale visualizzata rende il metodo adatto allo studio, alla correzione e ai flussi deterministici.
Individui la posizione richiesta nella formula del termine generale
Nello sviluppo di (a*x + b*y)^n, numeri i termini da sinistra a destra partendo da 1. La formula generale è T_r = C(n,r-1) * (a*x)^(n-r+1) * (b*y)^(r-1), dove r è la posizione richiesta. La potenza della prima variabile parte da n e diminuisce, mentre quella della seconda parte da 0 e aumenta.
Uno sviluppo con esponente n contiene esattamente n + 1 termini, quindi position deve essere compresa tra 1 e n + 1. La risposta restituisce entrambi i valori, chiarendo la convenzione e rendendo più semplici da riconoscere gli errori di una posizione.
Interpreti il coefficiente e le potenze delle variabili
Il coefficiente binomiale C(n,k) è soltanto una parte del coefficiente numerico completo quando il binomio contiene moltiplicatori. Un termine di (2x - 3y)^5 può quindi essere negativo anche se C(n,k) è positivo: il segno deriva dalla potenza del secondo moltiplicatore. Il coefficiente 1 viene omesso davanti alle variabili e -1 appare come segno meno.
Se un moltiplicatore vale 0, ogni termine che ne contiene una potenza positiva si semplifica correttamente in 0.
Casi d'uso
Esercizi su un termine specifico
Ottenga direttamente il termine richiesto, il coefficiente semplificato e i due esponenti senza scrivere tutti i termini precedenti.
Correzione algebrica automatica
Confronti coefficienti e potenze con un output esatto che mantiene espliciti la posizione didattica e l'indice della formula.
Creazione di lezioni e schede
Generi risposte deterministiche per esponenti, posizioni, moltiplicatori interi e nomi di variabili diversi senza integrare un sistema algebrico completo.
Domande frequenti
La posizione richiesta parte da 1?
Sì. La posizione 1 è il primo termine. Il calcolatore la converte in k = position - 1 prima di applicare la formula generale.
Quanti termini contiene (a*x + b*y)^n?
Uno sviluppo binomiale finito con n intero non negativo contiene n + 1 termini; la posizione massima valida è quindi n + 1.
Il calcolatore può trovare un termine di (2x - 3y)^n?
Il coefficiente finale include il segno e le potenze dei moltiplicatori.
Qual è la formula del termine generale?
Il termine in posizione r è C(n, r − 1) per (ax) elevato a n − r + 1 per (by) elevato a r − 1. Per il terzo termine di (2x − 3y)^5 si ottiene 10 · (2x)^3 · (−3y)^2, cioè 720x^3y^2.
Perché il coefficiente è diverso dal coefficiente binomiale?
Il coefficiente binomiale conta solo le combinazioni; quello completo include anche i moltiplicatori elevati alle rispettive potenze. Nel terzo termine di (2x − 3y)^5, C(5, 2) vale 10, ma il coefficiente completo è 720.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5,"position":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5,
"position": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5,
"position": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5,"position":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5,"position":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"n": 5,
"position": 3
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.binomial_specific_term",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Individui la posizione richiesta nella formula del termine generale
Il calcolatore converte la posizione in k = r - 1, l'indice usato di norma nel teorema binomiale, quindi assegna power_a = n - k e power_b = k. Per esempio, la posizione 3 usa k = 2 e produce gli esponenti n - 2 e 2.
Interpreti il coefficiente e le potenze delle variabili
Dopo averlo calcolato, lo strumento lo moltiplica per coefficient_a elevato a power_a e coefficient_b elevato a power_b. La risposta separa binomial_coefficient da coefficient e fornisce inoltre power_a, power_b, variable_a, variable_b e il prodotto compatto term. Gli interi sicuri compaiono come numeri JSON; quelli più grandi come stringhe decimali esatte, senza arrotondamento in virgola mobile.
Scelga gli input, verifichi la risposta e utilizzi il risultato
I nomi facoltativi devono essere identificatori brevi che iniziano con una lettera. Controlli prima le potenze, poi C(n,k) e infine il coefficiente completo. Invii n e position come interi JSON. L'esponente può andare da 0 al limite di sicurezza pubblicato e position viene verificata rispetto al numero effettivo di termini. coefficient_a e coefficient_b sono facoltativi e valgono 1 per impostazione predefinita, come in (x + y)^n. Per una sottrazione usi un moltiplicatore negativo, per esempio coefficient_b = -1 in (x - y)^n. Campi obbligatori mancanti o errati producono invalid_input, non un risultato presunto. Il browser è pratico per esercizi singoli; server e SDK offrono lo stesso contratto deterministico a $0.002 per elemento riuscito. Poiché non intervengono rete, casualità o orologio, input identici restituiscono sempre lo stesso JSON.
Domande tecniche
Qual è la differenza tra binomial_coefficient e coefficient?
binomial_coefficient è C(n,k). coefficient include anche coefficient_a elevato a power_a e coefficient_b elevato a power_b, compreso il segno finale.
Come vengono restituiti i coefficienti esatti molto grandi?
Gli interi JSON sicuri sono numeri; quelli più grandi sono stringhe decimali, così nessuna cifra viene persa per arrotondamento.