ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة حد معين في مفكوك ثنائي الحدين

الحد الثالث في مفكوك (2x − 3y)^5 هو 720x^3y^2: أدخل القوة والموضع والمعاملين لتحصل على هذا الحد وحده دون كتابة المفكوك كاملًا. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

N: 5
الموضع: 3
المعامل a: 2
المعامل b: ‎-3
المتغير a: x
المتغير b: y

تحصل على

K: 2
المعامل ثنائي الحد: 10
المعامل: 720
أس a: 3

تحسب هذه الأداة حدا واحدا مطلوبا من (a*x + b*y)^n من دون نشر كثير الحدود كاملا. أدخلوا الأس الصحيح غير السالب n وموضع الحد بدءا من 1، ويمكنكم اختياريا تحديد المضاعفين الصحيحين a وb واسمي المتغيرين. تعرض النتيجة معامل ثنائي الحدين، والمعامل الكامل بإشارته بعد تطبيق القوى، وأس كل متغير، وصيغة مقروءة للحد. وتحافظ الحسابات الصحيحة الدقيقة على المعاملات الكبيرة، بينما تجعل صيغة الحد العام الظاهرة الطريقة مناسبة للدراسة والتصحيح ومسارات البرمجيات الحتمية.

كيف تصل إلى حد واحد دون فك ذات الحدين

عند فك (ax + by)^n تظهر n + 1 من الحدود، مرقّمة من اليسار إلى اليمين بدءًا من الموضع 1. وفي كل حد تبدأ قوة x من n وتنقص واحدًا في كل مرة، بينما تبدأ قوة y من الصفر وتزيد. وللوصول مباشرة إلى الموضع r نطرح واحدًا من الموضع لنحصل على الدليل k، ثم نطبق الحد العام: C(n, k) في (ax) مرفوعًا إلى n − k في (by) مرفوعًا إلى k. ومع (2x − 3y)^5 والموضع 3 يكون الدليل 2 والمعامل الثنائي 10 والحد 720x^3y^2.

متى تستفيد منها والأخطاء الشائعة

تفيد في تمارين الكتب التي تطلب الحد الرابع أو السابع، وفي تصحيح الواجبات بمقارنة المعامل والأسس، وفي إعداد أوراق عمل بقوى ومعاملات مختلفة. وأكثر الأخطاء شيوعًا الخلط بين الموضع والدليل: الموضع الثالث يقابله الدليل 2 لا 3. ومن الأخطاء أيضًا نسيان الإشارة، فالمعاملات الثنائية موجبة دائمًا، لكن رفع معامل سالب إلى قوة يغيّر النتيجة.

حددوا الموضع المطلوب في صيغة الحد العام

في مفكوك (a*x + b*y)^n، رقموا الحدود من اليسار إلى اليمين بدءا من 1. صيغة الحد العام هي T_r = C(n,r-1) * (a*x)^(n-r+1) * (b*y)^(r-1)، حيث يمثل r الموضع المطلوب. تحول الحاسبة هذا الموضع أولا إلى k = r - 1، وهو الفهرس الذي يبدأ من 0 والمستخدم عادة في نظرية ثنائي الحدين.

يحتوي المفكوك ذو الأس n على n + 1 حدود بالضبط، ومن ثم يجب أن يكون position بين 1 وn + 1. تعيد النتيجة الموضع وk معا لتوضيح طريقة الفهرسة وتسهيل اكتشاف خطأ الزيادة أو النقصان بمقدار واحد.

حالات الاستخدام

تمارين الحد المعين في الكتب

احصلوا مباشرة على الحد المطلوب ومعامله المبسط والأسين من دون كتابة جميع الحدود التي تسبقه.

التصحيح الآلي لمسائل الجبر

قارنوا معامل الطالب وقوى المتغيرات بنتيجة دقيقة توضح موضع السؤال وفهرس الصيغة كل على حدة.

إعداد الدروس وأوراق العمل

أنشئوا إجابات حتمية لأسس ومواضع ومضاعفات صحيحة وأسماء متغيرات متنوعة من دون تضمين نظام جبر حاسوبي كامل.

الأسئلة الشائعة

هل يبدأ موضع الحد المطلوب من 1؟

نعم. الموضع 1 هو الحد الأول، وتحوله الحاسبة إلى k = position - 1 قبل تطبيق صيغة الحد العام.

كم حدا يوجد في (a*x + b*y)^n؟

يحتوي المفكوك المحدود عندما يكون n عددا صحيحا غير سالب على n + 1 حدود، ولذلك يكون أكبر موضع صالح هو n + 1.

ما صيغة الحد العام؟

الحد في الموضع r يساوي C(n, r − 1) مضروبًا في (ax) مرفوعًا إلى n − r + 1 وفي (by) مرفوعًا إلى r − 1. وفي الحد الثالث من (2x − 3y)^5 يصبح 10 · (2x)^3 · (−3y)^2، أي 720x^3y^2.

لماذا يختلف المعامل عن المعامل الثنائي؟

المعامل الثنائي يعدّ التوافيق فقط، أما المعامل الكامل فيضم أيضًا المعاملين a وb مرفوعين إلى قوتيهما. وفي الحد الثالث من (2x − 3y)^5 يساوي C(5, 2) العدد 10، بينما المعامل الكامل 720.

ماذا يحدث إذا كان أحد المعاملين صفرًا؟

كل حد يحتوي على قوة موجبة لذلك المعامل يصبح صفرًا، وتعرضه الحاسبة كذلك. ولا يبقى غير صفري إلا الحد الذي تكون فيه قوة ذلك المعامل صفرًا.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":5,"position":3}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 5,
    "position": 3
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 5,
    "position": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":5,"position":3}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":5,"position":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "n": 5,
  "position": 3
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.binomial_specific_term",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

حددوا الموضع المطلوب في صيغة الحد العام

ثم تعين power_a = n - k وpower_b = k. لذلك تبدأ قوة المتغير الأول من n وتنقص واحدا في كل حد، بينما تبدأ قوة المتغير الثاني من 0 وتزداد. فمثلا يستخدم الموضع 3 القيمة k = 2، وتصبح القوتان n - 2 و2.

افهموا المعامل وقوى المتغيرات

لا يمثل معامل ثنائي الحدين C(n,k) إلا جزءا من المعامل العددي الكامل عندما يحتوي ثنائي الحدين على مضاعفات. يحذف المعامل 1 أمام المتغيرات، ويظهر -1 في صورة إشارة ناقص. وإذا كان أحد المضاعفين 0، فإن كل حد يحتوي قوة موجبة منه يبسط إلى 0 بصورة صحيحة. بعد حسابه تضربه الأداة في coefficient_a مرفوعا إلى power_a وفي coefficient_b مرفوعا إلى power_b. لذلك قد يكون حد من (2x - 3y)^5 سالبا رغم أن C(n,k) موجب، إذ تأتي الإشارة من قوة المضاعف الثاني. تفصل النتيجة بين binomial_coefficient وcoefficient، وتعيد أيضا power_a وpower_b وvariable_a وvariable_b والجداء المختصر term. تظهر الأعداد الصحيحة الآمنة كأرقام JSON، أما القيم الأكبر فتعاد كسلاسل عشرية دقيقة للمحافظة على جميع الخانات ومنع تقريب الفاصلة العائمة.

اختاروا المدخلات وتحققوا من الإجابة واستخدموا النتيجة

يمكن أن يمتد الأس من 0 إلى حد الأمان المنشور، ويجري التحقق من position وفقا للعدد الفعلي للحدود. ويجب أن تكون أسماء المتغيرات الاختيارية معرفات قصيرة تبدأ بحرف لاتيني. عند مراجعة النتيجة، تحققوا أولا من القوتين، ثم من C(n,k)، وأخيرا من المعامل الكامل بعد إدخال قوى المضاعفات. أرسلوا n وposition كعددين صحيحين في JSON. الحقلان الاختياريان coefficient_a وcoefficient_b قيمتهما الافتراضية 1، ولذلك يماثل الإدخال (x + y)^n. استخدموا مضاعفا صحيحا سالبا للطرح، مثل coefficient_b = -1 في (x - y)^n. تؤدي الحقول المطلوبة الناقصة أو غير الصالحة إلى invalid_input بدلا من نتيجة مخمنة. يناسب المتصفح التمارين الفردية، بينما يقدم الخادم وحزم SDK العقد الحتمي نفسه مقابل $0.002 لكل عنصر ناجح. ولعدم استخدام الشبكة أو العشوائية أو الساعة، ينتج الإدخال نفسه دائما JSON مطابقا.

أسئلة تقنية

ما الفرق بين binomial_coefficient وcoefficient؟

يمثل binomial_coefficient القيمة C(n,k)، أما coefficient فيشمل أيضا coefficient_a مرفوعا إلى power_a وcoefficient_b مرفوعا إلى power_b مع الإشارة الناتجة.

هل يمكن حساب حد من (2x - 3y)^n؟

نعم. اضبطوا coefficient_a على 2 وcoefficient_b على -3، وسيشمل المعامل الكامل الإشارة وقوى المضاعفين.

كيف تعاد المعاملات الدقيقة الكبيرة جدا؟

تعاد أعداد JSON الصحيحة الآمنة كأرقام، وتعاد القيم الأكبر كسلاسل عشرية حتى لا تضيع أي خانة بسبب التقريب.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

كيف تصل إلى حد واحد دون فك ذات الحدين

متى تستفيد منها والأخطاء الشائعة

حددوا الموضع المطلوب في صيغة الحد العام

حالات الاستخدام

تمارين الحد المعين في الكتب

التصحيح الآلي لمسائل الجبر

إعداد الدروس وأوراق العمل

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

حددوا الموضع المطلوب في صيغة الحد العام

افهموا المعامل وقوى المتغيرات

اختاروا المدخلات وتحققوا من الإجابة واستخدموا النتيجة

أسئلة تقنية

شكرًا