Bestimmten Term einer Binomialentwicklung berechnen
Der dritte Term von (2x − 3y)^5 lautet 720x^3y^2: Geben Sie Exponent, Position und die beiden Faktoren ein und erhalten Sie genau diesen Term, ohne die ganze Entwicklung aufzuschreiben. Kostenlos in Ihrem Browser.
- Kostenlos
- Läuft in Ihrem Browser
- Ohne Anmeldung
- Ihre Daten bleiben auf Ihrem Gerät
Im Browser ausführen – kostenlos
Rechenbeispiel
- N
- 5
- Position
- 3
- Koeffizient a
- 2
- Koeffizient b
- -3
- Variable a
- x
- Variable b
- y
- K
- 2
- Binomialkoeffizient
- 10
- Koeffizient
- 720
- Potenz von a
- 3
Dieser Rechner ermittelt genau den gewünschten Term von (a*x + b*y)^n, ohne das gesamte Polynom zu entwickeln. Geben Sie den nicht negativen Exponenten n und die ab 1 gezählte Position ein; optional legen Sie die ganzzahligen Faktoren a und b sowie Variablennamen fest. Das Ergebnis enthält den Binomialkoeffizienten, den vollständigen vorzeichenbehafteten Koeffizienten, beide Variablenpotenzen und eine lesbare Termdarstellung. Exakte Ganzzahlarithmetik bewahrt auch große Werte, und die angezeigte allgemeine Termformel eignet sich für Studium, Korrektur und deterministische Softwareabläufe.
Ordnen Sie die gewünschte Position in die allgemeine Termformel ein
Nummerieren Sie bei (a*x + b*y)^n die Terme von links nach rechts ab 1. Die allgemeine Formel lautet T_r = C(n,r-1) * (a*x)^(n-r+1) * (b*y)^(r-1), wobei r die gesuchte Position bezeichnet. Der Rechner wandelt sie zunächst in k = r - 1 um, den in der binomischen Formel üblichen nullbasierten Index.
Die Potenz der ersten Variablen beginnt folglich bei n und sinkt, während die zweite bei 0 beginnt und steigt. Eine Entwicklung mit Exponent n besitzt genau n + 1 Terme; position muss daher zwischen 1 und n + 1 liegen. Die Ausgabe nennt beide Werte, sodass die Indexkonvention eindeutig bleibt und Verschiebungen um eine Stelle leicht auffallen.
Verstehen Sie Koeffizient und Variablenpotenzen
Der Binomialkoeffizient C(n,k) ist bei Binomen mit Faktoren nur ein Bestandteil des vollständigen Zahlenkoeffizienten. Ein Term von (2x - 3y)^5 kann deshalb negativ sein, obwohl C(n,k) positiv ist: Das Vorzeichen stammt von der Potenz des zweiten Faktors. Eine 1 vor Variablen entfällt, -1 erscheint als Minuszeichen.
Ist ein Faktor 0, werden Terme mit einer positiven Potenz dieses Faktors korrekt zu 0 vereinfacht.
Anwendungsfälle
Übungen zu bestimmten Termen
Ermitteln Sie direkt den gesuchten Term, seinen vereinfachten Koeffizienten und beide Exponenten, ohne alle vorherigen Terme aufzuschreiben.
Automatische Algebrakorrektur
Vergleichen Sie Koeffizienten und Potenzen mit einer exakten Ausgabe, die Aufgabenposition und Formelindex klar auseinanderhält.
Erstellung von Unterrichtsmaterial
Erzeugen Sie deterministische Lösungen für verschiedene Exponenten, Positionen, ganzzahlige Faktoren und Variablennamen ohne vollständiges Computeralgebrasystem.
Häufige Fragen
Beginnt die Position des gesuchten Terms bei 1?
Ja. Position 1 ist der erste Term. Vor Anwendung der allgemeinen Formel rechnet der Rechner sie in k = position - 1 um.
Wie viele Terme hat (a*x + b*y)^n?
Eine endliche Binomialentwicklung mit nicht negativer ganzer Zahl n enthält n + 1 Terme; die größte gültige Position ist daher n + 1.
Kann der Rechner einen Term von (2x - 3y)^n bestimmen?
Vorzeichen und Potenzen der Faktoren fließen in den vollständigen Koeffizienten ein.
Wie lautet die Formel für den allgemeinen Term?
Der Term an Position r ist C(n, r − 1) mal (ax) hoch n − r + 1 mal (by) hoch r − 1. Für den dritten Term von (2x − 3y)^5 ergibt das 10 · (2x)^3 · (−3y)^2, also 720x^3y^2.
Warum unterscheidet sich der Koeffizient vom Binomialkoeffizienten?
Der Binomialkoeffizient zählt nur Kombinationen; der vollständige Koeffizient enthält zusätzlich die Faktoren mit ihren Potenzen. Im dritten Term von (2x − 3y)^5 ist C(5, 2) gleich 10, der vollständige Koeffizient aber 720.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5,"position":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5,
"position": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5,
"position": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5,"position":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5,"position":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 5,
"position": 3
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.binomial_specific_term",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Ordnen Sie die gewünschte Position in die allgemeine Termformel ein
Danach setzt er power_a = n - k und power_b = k. Position 3 ergibt beispielsweise k = 2 und die Exponenten n - 2 sowie 2.
Verstehen Sie Koeffizient und Variablenpotenzen
Nach seiner Berechnung multipliziert das Werkzeug ihn mit coefficient_a hoch power_a und coefficient_b hoch power_b. Die Antwort weist binomial_coefficient und coefficient getrennt aus und liefert zusätzlich power_a, power_b, variable_a, variable_b sowie das kompakte Produkt term. Sichere Ganzzahlen erscheinen als JSON-Zahlen; größere exakte Werte werden als Dezimalzeichenfolgen zurückgegeben, damit keine Rundung entsteht.
Wählen Sie Eingaben, prüfen Sie die Lösung und nutzen Sie das Ergebnis
Optionale Variablennamen müssen kurze, mit einem Buchstaben beginnende Bezeichner sein. Prüfen Sie zuerst die Potenzen, dann C(n,k) und zuletzt den vollständigen Koeffizienten. Übergeben Sie n und position als JSON-Ganzzahlen. Der Exponent darf von 0 bis zur veröffentlichten Sicherheitsgrenze reichen; position wird gegen die tatsächliche Termanzahl geprüft. coefficient_a und coefficient_b sind optional und standardmäßig 1, entsprechend (x + y)^n. Für eine Subtraktion verwenden Sie einen negativen Faktor, etwa coefficient_b = -1 bei (x - y)^n. Fehlende oder ungültige Pflichtfelder erzeugen invalid_input statt eines geratenen Ergebnisses. Der Browser eignet sich für einzelne Aufgaben; Server und SDKs verwenden denselben deterministischen Vertrag für $0.002 je erfolgreichem Element. Ohne Netzwerk, Zufall oder Uhr liefert dieselbe Eingabe stets dasselbe JSON.
Technische Fragen
Wie unterscheiden sich binomial_coefficient und coefficient?
binomial_coefficient ist C(n,k). coefficient berücksichtigt zusätzlich coefficient_a hoch power_a und coefficient_b hoch power_b einschließlich Vorzeichen.
Wie werden sehr große exakte Koeffizienten ausgegeben?
Sichere JSON-Ganzzahlen bleiben Zahlen; größere Werte erscheinen als Dezimalzeichenfolgen, damit durch Rundung keine Stelle verloren geht.