Terme précis d'un développement binomial
Le troisième terme de (2x − 3y)^5 est 720x^3y^2 : indiquez la puissance, la position et les deux multiplicateurs, et obtenez ce terme sans écrire tout le développement. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- N
- 5
- Position
- 3
- Coefficient a
- 2
- Coefficient b
- -3
- Variable a
- x
- Variable b
- y
- K
- 2
- Coefficient binomial
- 10
- Coefficient
- 720
- Puissance de a
- 3
Ce calculateur détermine exactement le terme demandé de (a*x + b*y)^n sans développer tout le polynôme. Saisissez l'exposant non négatif n et la position du terme, comptée à partir de 1, puis indiquez éventuellement les multiplicateurs entiers a et b et les noms des variables. Le résultat fournit le coefficient binomial, le coefficient signé complet, l'exposant de chaque variable et une écriture lisible du terme. Le calcul entier exact préserve les grands coefficients, tandis que la formule générale affichée convient à l'étude, à la correction et aux traitements déterministes.
Repérez la position demandée dans la formule du terme général
Dans le développement de (a*x + b*y)^n, numérotez les termes de gauche à droite à partir de 1. La formule générale est T_r = C(n,r-1) * (a*x)^(n-r+1) * (b*y)^(r-1), où r désigne la position demandée. La puissance de la première variable commence donc à n et décroît, tandis que celle de la seconde commence à 0 et croît.
Un développement d'exposant n comporte exactement n + 1 termes : position doit donc être compris entre 1 et n + 1. La réponse conserve r et k afin de rendre la convention explicite et d'éviter les erreurs de décalage.
Interprétez le coefficient et les puissances des variables
Le coefficient binomial C(n,k) ne constitue qu'une partie du coefficient numérique complet lorsque le binôme comporte des multiplicateurs. Un terme de (2x - 3y)^5 peut ainsi être négatif même si C(n,k) est positif : son signe provient de la puissance du second multiplicateur. Le coefficient 1 est omis devant les variables et -1 devient un signe moins.
Si un multiplicateur vaut 0, tout terme où il possède une puissance positive se simplifie correctement en 0.
Cas d’usage
Exercices sur un terme précis
Obtenez directement le terme demandé, son coefficient simplifié et ses deux exposants sans écrire tous les termes précédents.
Correction algébrique automatisée
Comparez coefficients et puissances à une sortie exacte qui distingue clairement la position scolaire de l'indice de formule.
Création de cours et de fiches
Produisez des réponses déterministes pour divers exposants, positions, multiplicateurs entiers et noms de variables sans intégrer un système algébrique complet.
Questions fréquentes
La position demandée commence-t-elle à 1 ?
Oui. La position 1 correspond au premier terme. Le calculateur la convertit en k = position - 1 avant d'appliquer la formule générale.
Combien de termes contient (a*x + b*y)^n ?
Un développement binomial fini avec n entier non négatif possède n + 1 termes ; la position maximale valide est donc n + 1.
Peut-on trouver un terme de (2x - 3y)^n ?
Le coefficient final tient compte du signe et des puissances des multiplicateurs.
Quelle est la formule du terme général ?
Le terme de rang r vaut C(n, r − 1) fois (ax) à la puissance n − r + 1 fois (by) à la puissance r − 1. Pour le troisième terme de (2x − 3y)^5, on obtient 10 · (2x)^3 · (−3y)^2, soit 720x^3y^2.
Pourquoi le coefficient diffère-t-il du coefficient binomial ?
Le coefficient binomial compte seulement les combinaisons ; le coefficient complet inclut aussi les multiplicateurs élevés à leurs puissances. Dans le troisième terme de (2x − 3y)^5, C(5, 2) vaut 10, mais le coefficient complet est 720.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5,"position":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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"position": 3
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5,
"position": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5,"position":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5,"position":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"n": 5,
"position": 3
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.binomial_specific_term",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Repérez la position demandée dans la formule du terme général
Le calculateur transforme cette position en k = r - 1, l'indice usuel du théorème binomial, puis pose power_a = n - k et power_b = k. Par exemple, la position 3 donne k = 2, puis les exposants n - 2 et 2.
Interprétez le coefficient et les puissances des variables
Après son calcul, l'outil le multiplie par coefficient_a à la puissance power_a et coefficient_b à la puissance power_b. La réponse distingue binomial_coefficient de coefficient et fournit aussi power_a, power_b, variable_a, variable_b ainsi que le produit compact term. Les entiers compatibles avec JSON restent numériques ; les valeurs supérieures deviennent des chaînes décimales exactes afin d'éviter tout arrondi flottant.
Choisissez les entrées, vérifiez la réponse et exploitez le résultat
L'exposant va de 0 à la limite de sécurité publiée, et position est contrôlé selon le nombre réel de termes. Les noms de variables doivent être de courts identifiants commençant par une lettre. Vérifiez d'abord les puissances, ensuite C(n,k), puis le coefficient complet. Transmettez n et position sous forme d'entiers JSON. Les champs facultatifs coefficient_a et coefficient_b valent 1 par défaut, comme dans (x + y)^n. Pour une soustraction, utilisez un multiplicateur négatif, par exemple coefficient_b = -1 dans (x - y)^n. Une entrée obligatoire absente ou incorrecte produit invalid_input, jamais une valeur supposée. Le navigateur convient aux exercices ponctuels ; le serveur et les SDK appliquent le même contrat déterministe au tarif de $0.002 par élément réussi. Sans réseau, hasard ni horloge, une entrée identique produit toujours le même JSON.
Questions techniques
Quelle différence existe entre binomial_coefficient et coefficient ?
binomial_coefficient vaut C(n,k). coefficient inclut aussi coefficient_a à la puissance power_a et coefficient_b à la puissance power_b, signe compris.
Comment les très grands coefficients exacts sont-ils renvoyés ?
Les entiers JSON sûrs restent des nombres ; les plus grands deviennent des chaînes décimales afin de ne perdre aucun chiffre par arrondi.