Termo específico de uma expansão binomial
O terceiro termo de (2x − 3y)^5 é 720x^3y^2: informe a potência, a posição e os dois multiplicadores e obtenha esse termo sem escrever o desenvolvimento completo. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 5
- Posição
- 3
- Coeficiente a
- 2
- Coeficiente b
- -3
- Variável a
- x
- Variável b
- y
- K
- 2
- Coeficiente binomial
- 10
- Coeficiente
- 720
- Potência de a
- 3
Esta calculadora encontra exatamente o termo solicitado de (a*x + b*y)^n sem desenvolver todo o polinômio. Informe o expoente não negativo n e a posição do termo, contada a partir de 1; se desejar, defina os multiplicadores inteiros a e b e os nomes das variáveis. O resultado mostra o coeficiente binomial, o coeficiente completo com sinal, o expoente de cada variável e um termo legível. A aritmética inteira exata preserva coeficientes grandes, e a fórmula geral exibida torna o método útil para estudo, correção e fluxos determinísticos.
Como achar um termo sem desenvolver o binômio
Ao desenvolver (ax + by)^n surgem n + 1 termos, numerados da esquerda para a direita a partir da posição 1. Em cada um, a potência de x começa em n e diminui de um em um, enquanto a de y começa em zero e aumenta. Para ir direto à posição r, subtrai-se um da posição, o que dá o índice k usado nas fórmulas, e aplica-se o termo geral: C(n, k) vezes (ax) elevado a n − k vezes (by) elevado a k. Com (2x − 3y)^5 e a posição 3, o índice é 2, o coeficiente binomial vale 10 e o termo resulta em 720x^3y^2.
Quando usar e erros comuns
Serve para exercícios de livro que pedem o quarto ou o sétimo termo, para corrigir tarefas comparando coeficiente e expoentes e para montar listas de exercícios com potências e multiplicadores variados. O erro mais comum é confundir a posição com o índice: a terceira posição corresponde ao índice 2, não ao 3. Outro é esquecer o sinal: os coeficientes binomiais são sempre positivos, mas um multiplicador negativo elevado a uma potência muda o resultado. Se um multiplicador for zero, os termos que o contêm com potência positiva valem zero.
Identifique a posição solicitada na fórmula do termo geral
Na expansão de (a*x + b*y)^n, numere os termos da esquerda para a direita a partir de 1. A fórmula geral é T_r = C(n,r-1) * (a*x)^(n-r+1) * (b*y)^(r-1), em que r é a posição pedida. A calculadora converte essa posição em k = r - 1, o índice usado normalmente no teorema binomial.
Uma expansão de expoente n possui exatamente n + 1 termos, portanto position deve ficar entre 1 e n + 1. A resposta apresenta os dois valores para deixar clara a convenção de índice e facilitar a identificação de diferenças de uma posição.
Casos de uso
Exercícios de termo específico
Encontre diretamente o termo pedido, o coeficiente simplificado e os dois expoentes sem escrever todos os termos anteriores.
Correção algébrica automatizada
Compare coeficientes e potências com uma saída exata que mantém explícitas a posição didática e o índice da fórmula.
Criação de aulas e atividades
Gere respostas determinísticas para vários expoentes, posições, multiplicadores inteiros e nomes de variáveis sem incorporar um sistema algébrico completo.
Perguntas frequentes
A posição solicitada começa em 1?
Sim. A posição 1 é o primeiro termo. A calculadora a converte em k = position - 1 antes de aplicar a fórmula geral.
Quantos termos existem em (a*x + b*y)^n?
Uma expansão binomial finita com n inteiro não negativo possui n + 1 termos; logo, a maior posição válida é n + 1.
A calculadora encontra um termo de (2x - 3y)^n?
O coeficiente final inclui o sinal e as potências dos multiplicadores.
Qual é a fórmula do termo geral?
O termo da posição r é C(n, r − 1) vezes (ax) elevado a n − r + 1 vezes (by) elevado a r − 1. No terceiro termo de (2x − 3y)^5, fica 10 · (2x)^3 · (−3y)^2, ou seja, 720x^3y^2.
Por que o coeficiente é diferente do coeficiente binomial?
O coeficiente binomial só conta combinações; o coeficiente completo inclui também os multiplicadores elevados às suas potências. No terceiro termo de (2x − 3y)^5, C(5, 2) vale 10, mas o coeficiente completo é 720.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5,"position":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5,
"position": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5,
"position": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5,"position":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5,"position":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 5,
"position": 3
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.binomial_specific_term",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Identifique a posição solicitada na fórmula do termo geral
Em seguida, define power_a = n - k e power_b = k. Assim, a potência da primeira variável começa em n e diminui, enquanto a da segunda começa em 0 e aumenta. Por exemplo, a posição 3 corresponde a k = 2 e produz os expoentes n - 2 e 2.
Entenda o coeficiente e as potências das variáveis
O coeficiente binomial C(n,k) é apenas uma parte do coeficiente numérico completo quando o binômio contém multiplicadores. O número 1 é omitido diante de variáveis, e -1 aparece como sinal de menos. Se algum multiplicador for 0, os termos com potência positiva desse multiplicador viram corretamente 0. Depois de calculá-lo, a ferramenta multiplica o valor por coefficient_a elevado a power_a e coefficient_b elevado a power_b. Portanto, um termo de (2x - 3y)^5 pode ser negativo mesmo que C(n,k) seja positivo: o sinal vem da potência do segundo multiplicador. A resposta separa binomial_coefficient de coefficient e também fornece power_a, power_b, variable_a, variable_b e o produto compacto term. Inteiros seguros são números JSON; valores maiores são strings decimais exatas, evitando qualquer arredondamento de ponto flutuante.
Escolha as entradas, confira a resposta e use o resultado
Os nomes opcionais precisam ser identificadores curtos iniciados por letra. Ao conferir a saída, examine primeiro as potências, depois C(n,k) e por fim o coeficiente completo. Envie n e position como inteiros JSON. O expoente pode variar de 0 até o limite de segurança publicado, e position é validado conforme a quantidade real de termos. coefficient_a e coefficient_b são opcionais e assumem 1, reproduzindo (x + y)^n. Para representar subtração, use um multiplicador negativo, como coefficient_b = -1 em (x - y)^n. Campos obrigatórios ausentes ou inválidos geram invalid_input, sem estimativas. O navegador atende exercícios individuais; servidor e SDKs oferecem o mesmo contrato determinístico por US$ 0,002 por item bem-sucedido. Como não há rede, aleatoriedade nem relógio, entradas idênticas sempre geram o mesmo JSON.
Perguntas técnicas
Qual é a diferença entre binomial_coefficient e coefficient?
binomial_coefficient é C(n,k). coefficient também inclui coefficient_a elevado a power_a e coefficient_b elevado a power_b, com o sinal final.
Como coeficientes exatos muito grandes são retornados?
Inteiros JSON seguros aparecem como números; os maiores aparecem como strings decimais para que nenhum dígito seja perdido por arredondamento.