Término específico de una expansión binomial
El tercer término de (2x − 3y)^5 es 720x^3y^2: indique la potencia, la posición y los dos multiplicadores, y obtenga ese término sin escribir el desarrollo completo. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- N
- 5
- Posición
- 3
- Coeficiente a
- 2
- Coeficiente b
- -3
- Variable a
- x
- Variable b
- y
- K
- 2
- Coeficiente binomial
- 10
- Coeficiente
- 720
- Potencia de a
- 3
Esta calculadora obtiene exactamente el término solicitado de (a*x + b*y)^n sin desarrollar todo el polinomio. Introduzca el exponente no negativo n y la posición del término, contada desde 1; si lo desea, indique los multiplicadores enteros a y b y los nombres de las variables. El resultado muestra el coeficiente binomial, el coeficiente completo con signo, los exponentes de ambas variables y el término legible. La aritmética entera exacta conserva los coeficientes grandes y la fórmula general visible facilita el estudio, la corrección y los procesos deterministas.
Cómo se localiza un término sin desarrollar el binomio
Al desarrollar (ax + by)^n aparecen n + 1 términos, numerados de izquierda a derecha desde la posición 1. En cada uno, la potencia de x empieza en n y baja de uno en uno, mientras la de y empieza en cero y sube. Para ir directamente a la posición r se resta uno a la posición, lo que da el índice k que usan las fórmulas, y se aplica el término general: C(n, k) por (ax) elevado a n − k por (by) elevado a k. Con (2x − 3y)^5 y la posición 3, el índice es 2, el coeficiente binomial vale 10 y el término resulta 720x^3y^2.
Cuándo le sirve y errores frecuentes
Es útil en ejercicios de libro que piden el cuarto o el séptimo término, al corregir tareas comparando coeficiente y exponentes, y al preparar hojas de trabajo con distintas potencias y multiplicadores. El error más común es confundir la posición con el índice: la tercera posición corresponde al índice 2, no al 3. Otro es olvidar el signo: los coeficientes binomiales siempre son positivos, pero un multiplicador negativo elevado a una potencia cambia el resultado. Si un multiplicador es cero, los términos que lo contienen con potencia positiva valen cero.
Identifique la posición solicitada en la fórmula del término general
En el desarrollo de (a*x + b*y)^n, numere los términos de izquierda a derecha empezando por 1. La fórmula es T_r = C(n,r-1) * (a*x)^(n-r+1) * (b*y)^(r-1), donde r representa la posición pedida. La calculadora convierte primero esa posición en k = r - 1, el índice que suele emplearse en el teorema binomial.
Como existen exactamente n + 1 términos, la posición debe estar entre 1 y n + 1. La respuesta incluye r y k para aclarar la convención y evitar errores de una unidad.
Qué puede hacer con ella
Ejercicios de términos concretos
Obtenga directamente el término pedido, su coeficiente simplificado y ambos exponentes sin escribir todos los términos anteriores.
Corrección algebraica automática
Compare coeficientes y potencias con una salida exacta que distingue claramente la posición del libro y el índice de la fórmula.
Creación de lecciones y fichas
Genere respuestas deterministas con distintos exponentes, posiciones, multiplicadores enteros y nombres de variables sin integrar un sistema algebraico completo.
Preguntas frecuentes
¿La posición solicitada empieza en 1?
Sí. La posición 1 es el primer término. La calculadora la convierte en k = position - 1 antes de aplicar la fórmula general.
¿Cuántos términos tiene (a*x + b*y)^n?
Una expansión binomial finita con n entero no negativo contiene n + 1 términos; por tanto, la posición máxima válida es n + 1.
¿Puede hallar un término de (2x - 3y)^n?
La salida incorpora el signo y las potencias de ambos multiplicadores.
¿Cuál es la fórmula del término general?
El término de la posición r es C(n, r − 1) por (ax) elevado a n − r + 1 por (by) elevado a r − 1. Para el tercer término de (2x − 3y)^5 queda 10 · (2x)^3 · (−3y)^2, es decir, 720x^3y^2.
¿Por qué el coeficiente no coincide con el coeficiente binomial?
El coeficiente binomial solo cuenta combinaciones; el coeficiente completo incluye además los multiplicadores elevados a sus potencias. En el tercer término de (2x − 3y)^5, C(5, 2) vale 10, pero el coeficiente completo es 720.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5,"position":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5,
"position": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5,
"position": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5,"position":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5,"position":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-specific-term", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 5,
"position": 3
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.binomial_specific_term",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Identifique la posición solicitada en la fórmula del término general
Después asigna power_a = n - k y power_b = k. Por ello, la potencia de la primera variable comienza en n y disminuye, mientras la segunda empieza en 0 y aumenta. Por ejemplo, la posición 3 corresponde a k = 2 y produce los exponentes n - 2 y 2.
Interprete el coeficiente y las potencias de las variables
El número C(n,k) es solo una parte del coeficiente numérico completo cuando el binomio contiene multiplicadores. Se omite el 1 delante de variables y se representa -1 mediante un signo menos. Si un multiplicador es 0, todo término que contenga una potencia positiva suya se reduce correctamente a 0. Tras calcularlo, la herramienta lo multiplica por coefficient_a elevado a power_a y por coefficient_b elevado a power_b. Por eso un término de (2x - 3y)^5 puede ser negativo aunque C(n,k) sea positivo: el signo procede de la potencia del segundo multiplicador. La salida separa binomial_coefficient de coefficient y también entrega power_a, power_b, variable_a, variable_b y un producto compacto en term. Los enteros seguros aparecen como números JSON; los mayores se devuelven como cadenas decimales exactas, sin redondeo de coma flotante.
Elija las entradas, compruebe la respuesta y utilice el resultado
Los nombres opcionales deben ser identificadores breves que comiencen con una letra. Al recibir el resultado, compruebe primero las potencias, después C(n,k) y finalmente el coeficiente completo. Envíe n y position como enteros JSON. El exponente admite desde 0 hasta el límite de seguridad publicado, y position se valida contra el número real de términos. coefficient_a y coefficient_b son opcionales y valen 1 de forma predeterminada, como en (x + y)^n. Para una resta puede usar un multiplicador negativo, por ejemplo coefficient_b = -1 en (x - y)^n. Los campos obligatorios ausentes o inválidos generan invalid_input, nunca un valor supuesto. El navegador sirve para ejercicios aislados; el servidor y los SDK ofrecen el mismo contrato determinista por $0.002 por elemento correcto. Sin red, azar ni reloj, una misma entrada siempre produce el mismo JSON.
Preguntas técnicas
¿En qué se diferencian binomial_coefficient y coefficient?
binomial_coefficient es C(n,k). coefficient incluye además coefficient_a elevado a power_a y coefficient_b elevado a power_b, con el signo resultante.
¿Cómo devuelve los coeficientes exactos muy grandes?
Los enteros JSON seguros se entregan como números; los mayores, como cadenas decimales, para no perder ningún dígito por redondeo.