二項係数の行
行番号nを入力すると、その行の二項係数がすべて得られます。5行目なら1, 5, 10, 10, 5, 1の6個で、数が大きくなっても桁が欠けることはありません。ブラウザで無料で使えます。
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計算例
- N
- 5
- 係数
- 1, 5, 10, 10, 5, 1
- 数量
- 6
二項係数の行とは、パスカルの三角形の 1 段分、すなわち n choose 0 から n choose n までのすべての値 C(n,k) を順番に並べたものです。この機能は、単一の非負整数 n について、厳密な BigInt 演算でその行全体を構築します。そのため、浮動小数点の乗算のように係数が精度を失うことはありません。n を送信すると、n のエコー、10 進文字列としての係数のリスト、そしてエントリー数（常に n+1）が返ります。負の n は処理が始まる前に拒否されます。
BigInt の行がどのように計算されるか
各エントリーは古典的な乗法的漸化式で生成されます。C(n,0) を 1 とし、次に C(n,k) を C(n,k-1) 掛ける (n−k+1) を k で割る形で求め、各ステップで BigInt の乗算と厳密な整数除算を用います。二項係数は整数なので、乗算をこの順序で並べれば除算に余りは生じず、アルゴリズムは決して近似を行いません。
計算量は n について線形で、列ごとに 1 回の乗算と 1 回の除算だけであり、中間範囲をあふれさせる完全な階乗を計算する必要はありません。行の対称性は別の充填ステップではなく数学の帰結です。漸化式は左から右へ進みながら正しい回文にたどり着きます。
乱数シードも、実時間クロックも、ネットワーク上の表も関与しません。単一の C(n,k) ではなく行全体が必要なときはこの経路を選んでください。1 回の呼び出しが n+1 回の個別の choose 呼び出しを置き換え、すべてのエントリーを同じ漸化式で一貫させます。
1 つの係数だけが必要なら返された配列に添字でアクセスできますが、ここでの設計目標は授業、表、性質ベースのチェックのための行全体です。
二項係数の行が実務で現れる場面
教育者や学生は、宿題の検証、帰納法の説明、そして大きな n で桁を失うことなく (x+y)^n の手書き展開と照合するためにパスカルの行を生成します。
ソフトウェアエンジニアは、自作の choose 実装、コンビナディックのランカー、あるいはすべての k について C(n,k) を再現すべき動的計画法の表をテストする際に、信頼できる行をオラクルとして使います。
データや金融のチームは、離散確率モデル（二項分布、単純な格子経路の数え上げ、レポート内の係数表）のために二項展開を必要とすることがあり、1 のずれや浮動小数の丸め誤差が列を静かに壊しかねません。検索意図が「行 n の完全な二項係数がほしい」というときにこのツールを選び、多項係数、不完全ベータ関数、浮動小数近似が必要なときには使わないでください。
活用例
宿題とパスカルの三角形のデモ
大きな n でも浮動小数のずれなく、授業のチェックやライブデモのために厳密な行 C(n,0)…C(n,n) を生成します。
組合せ論の単体テストのオラクル
手元の choose や DP 表を信頼できる行全体と照合し、1 のずれのバグを係数の不一致として表面化させます。
モデルとレポートのための二項表
パスカルの 1 行を 10 進文字列としてエクスポートし、確率表や格子経路の数え上げを構築するパイプラインに流します。
よくある質問
なぜ係数は文字列として返されるのですか？
中心二項係数は、そこそこの n でも JavaScript の安全な整数を超えます。10 進文字列は厳密な BigInt 値のすべての桁を保ちます。
n がゼロでも動きますか？
はい。 行 0 は係数 1 のみで、C(0,0) に一致します。
これは 1 つの C(n,k) を求めるのと同じですか？
1 エントリーだけ必要なら coefficients 配列から添字 k を選べます。
どのようなnを入力できますか？
0以上の整数を入力してください。負の数や小数、数値でない文字は受け付けず、存在しない行を作ることはありません。0を入力すると、1だけを含む行が返ります。
二項係数の行とは何ですか？
パスカルの三角形の1行分で、C(n,0)からC(n,n)までを順に並べたものです。項目数は常にn+1個で、5行目なら1, 5, 10, 10, 5, 1の6個になります。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/combo/binomial-row \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/combo/binomial-row", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/combo/binomial-row",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/combo/binomial-row", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/combo/binomial-row", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"n": 5
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "combo.binomial_row",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
リクエストとレスポンスの形
n は非負の整数です（ゼロも許容され、1 要素の行 [1] を返します）。中心二項係数は n が大きくなるずっと前に Number.MAX_SAFE_INTEGER を超えるためです。誤った行インデックスがパスカルの行をでっち上げてはならないからです。同一のアルゴリズムは、たまに 1 行だけ必要なときのために、このページのブラウザー上でも無料で動作します。必須フィールド n を 1 つだけ持つ JSON オブジェクトを送信してください。レスポンスは 3 つのフィールドを持つコンパクトなオブジェクトです。整数 n はエコーされるため、ファンアウトジョブの呼び出し側はリクエストを読み直さずに結果を対応づけられます。coefficients 配列は C(n,0), C(n,1), …, C(n,n) を IEEE の数値ではなく 10 進文字列として列挙します。count フィールドは coefficients.length に等しく、常に n+1 なので、テストでの手早いアサーションに便利です。n の欠落、小数値、真偽値、非数値の文字列、公表された最大値を超える値、そして負の整数はすべて、フィールド名と規則を明示するメッセージとともに invalid_input を返します。この失敗モードは意図的なものです。料金は API では 1 リクエストあたり $0.002 です。
二項係数の行が実務で現れる場面
この機能はティア A なので、このページで n を貼り付け、同じ Worker 品質の BigInt ロジックをブラウザーで無料で実行できます。スクリプトや SDK が行を大量に必要とするようになったら、後から 1 件あたり $0.002 で自動化してください。n は公表された上限内の非負整数に保ち、invalid_input はリトライではなくクライアント側の修正として扱い、係数を永続化する場合は文字列として保存すれば、大きな中心値が JSON やスプレッドシートのインポートを無傷で通過します。
技術的な質問
料金はいくらですか。
API では 1 リクエストあたり $0.002 です。同じ行はこのページのブラウザー上でも無料で動作します。
n にはどの値が受け付けられますか。
0 から公表された最大値までの非負整数です。負の n、小数、真偽値、非数値の入力は invalid_input を返します。