Recíproco de número complexo
O recíproco de 3 + 4i é 3/25 − (4/25)i, porque o módulo ao quadrado dele é 25: informe as partes real e imaginária e obtenha 1/z na forma algébrica, pronto para dividir complexos. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Parte real
- 3
- Parte imaginária
- 4
- Parte real
- 0,12
- Parte imaginária
- -0,16
- Módulo ao quadrado
- 25
Esta calculadora encontra o inverso multiplicativo de um número complexo escrito com uma parte real e outra imaginária. Informe os dois componentes de a + bi para receber as partes real e imaginária de 1/(a + bi), além do módulo ao quadrado usado como denominador. O cálculo é determinístico, mantém a forma retangular e rejeita zero, pois ele não possui recíproco. A ferramenta ajuda a conferir álgebra, preparar divisões complexas e incorporar operações reproduzíveis em software.
Transforme um número complexo em seu recíproco
O recíproco é o número que, multiplicado pelo valor original, produz um. Para um número real, basta dividir um por esse número. Um denominador complexo exige uma etapa algébrica adicional porque contém componentes real e imaginário.
Informe as duas partes separadamente; por exemplo, para 3 + 4i, digite 3 como parte real e 4 como imaginária. A calculadora devolve o recíproco na mesma estrutura de dois componentes, facilitando o uso em código ou em contas posteriores. Ela também apresenta o módulo ao quadrado, a² + b², para que você possa verificar o denominador utilizado.
Não há interpretação de expressões formatadas, o que elimina ambiguidades de sinal, espaço ou símbolo da unidade imaginária. As duas entradas precisam ser números finitos. O único valor complexo excluído é 0 + 0i, cujo recíproco não existe, pois nenhum número multiplicado por zero pode resultar em um.
Por que o conjugado torna a divisão possível
Para z = a + bi, o conjugado é a - bi. Multiplicar z pelo conjugado cancela os termos imaginários cruzados e resulta em a² + b², o módulo ao quadrado, sempre positivo para um número complexo diferente de zero. Assim, 1/z é igual a (a - bi)/(a² + b²).
O componente real retornado é a dividido por esse módulo ao quadrado; o imaginário é -b dividido pelo mesmo valor. Considere 3 + 4i: seu módulo ao quadrado é 9 + 16 = 25, portanto o recíproco é 3/25 - 4/25i, ou 0.12 - 0.16i. A multiplicação dos dois números confirma a resposta: a parte real se torna um e a imaginária se torna zero.
Exibir o módulo ao quadrado permite auditar a transformação e ajuda a relacionar a magnitude geométrica do número complexo à técnica algébrica usada para remover o denominador imaginário.
Use o resultado com precisão em etapas posteriores
A saída foi criada para reutilização direta, e não apenas para exibir matemática. O recíproco é especialmente útil na divisão de números complexos: multiplicar o numerador pelo recíproco do denominador fornece o quociente. Ele também aparece em relações de impedância e admitância, funções de transferência, análise de sinais, métodos numéricos iterativos e exercícios com expressões racionais complexas.
Para valores usuais, a operação segue uma sequência fixa, sem rede, aleatoriedade, arredondamento oculto ou dependência do horário atual.
Casos de uso
Confira exercícios de números complexos
Verifique o método do conjugado sobre o módulo ao quadrado e compare os componentes com seu cálculo manual.
Prepare uma divisão complexa
Calcule o inverso de um denominador não nulo antes de multiplicá-lo por outro número complexo.
Automatize fórmulas de engenharia
Reutilize campos numéricos reais e imaginários em cálculos de impedância, admitância, sinais ou controle.
Perguntas frequentes
O que a calculadora retorna?
Ela retorna as partes real e imaginária do recíproco e o módulo ao quadrado usado como denominador.
Qual fórmula é utilizada?
Para a + bi, calcula-se (a - bi)/(a² + b²); os componentes são a/(a² + b²) e -b/(a² + b²).
Por que zero é rejeitado?
Zero não tem inverso multiplicativo: qualquer número complexo finito multiplicado por zero continua sendo zero, nunca um.
Posso inserir um valor formatado como 3+4i?
Não. Informe 3 no campo real e 4 no imaginário para manter a entrada inequívoca e legível por máquina.
Como o recíproco ajuda a dividir números complexos?
Dividir por um número complexo é o mesmo que multiplicar pelo seu recíproco. Calcule aqui 1/z para o denominador e multiplique o numerador por ele: você obtém o quociente sem lidar com um denominador imaginário.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imaginary":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imaginary": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imaginary": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imaginary":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imaginary":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"real": 3,
"imaginary": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_reciprocal",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Use o resultado com precisão em etapas posteriores
Os campos real e imaginário podem alimentar outra conta sem analisar texto, enquanto modulus_squared registra o denominador comum. Os resultados usam números finitos comuns de JavaScript e seguem a precisão de ponto flutuante IEEE-754. Componentes muito grandes podem causar estouro em a² + b², e componentes não nulos minúsculos podem reduzi-lo a zero; esses casos são rejeitados em vez de retornar infinito ou um resultado enganoso que JSON não representa corretamente.
Perguntas técnicas
Quanto custa uma solicitação API?
Cada solicitação API custa US$ 0,002. A calculadora no navegador é gratuita nesta página.