Inverse d’un nombre complexe
L'inverse de 3 + 4i vaut 3/25 − (4/25)i, car son module au carré est 25 : saisissez les parties réelle et imaginaire et obtenez 1/z sous forme algébrique, prêt pour une division de complexes. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Partie réelle
- 3
- Partie imaginaire
- 4
- Partie réelle
- 0,12
- Partie imaginaire
- -0,16
- Module au carré
- 25
Ce calculateur détermine l’inverse multiplicatif d’un nombre complexe défini par une partie réelle et une partie imaginaire. Saisissez les deux composantes de a + bi : vous obtenez celles de 1/(a + bi), ainsi que le module au carré employé comme dénominateur. Le calcul est déterministe, conserve la forme algébrique et refuse zéro, qui ne possède aucun inverse. Il permet de vérifier un exercice, de préparer une division complexe ou d’intégrer cette opération à un logiciel.
Transformez un nombre complexe en son inverse
L’inverse est le nombre qui, multiplié par la valeur initiale, donne un. Pour un réel, il suffit de diviser un par ce nombre. Un dénominateur complexe demande une étape algébrique supplémentaire, car il contient une composante réelle et une composante imaginaire.
Indiquez-les séparément : pour 3 + 4i, saisissez 3 comme partie réelle et 4 comme partie imaginaire. Le calculateur renvoie l’inverse selon la même structure à deux composantes, facilement réutilisable dans du code ou un calcul ultérieur. Il fournit également le module au carré, a² + b², afin que vous puissiez contrôler le dénominateur.
Aucun analyseur d’expression formatée n’intervient ; les ambiguïtés liées aux signes, aux espaces ou au symbole de l’unité imaginaire sont ainsi évitées. Les deux entrées doivent être des nombres finis. La seule valeur exclue est 0 + 0i, dont l’inverse n’est pas défini puisqu’aucun nombre multiplié par zéro ne peut donner un.
Pourquoi le conjugué rend la division possible
Pour z = a + bi, le conjugué vaut a - bi. Multiplier z par son conjugué annule les termes imaginaires croisés et produit a² + b², le module au carré, toujours positif si le nombre complexe est non nul. Ainsi, 1/z vaut (a - bi)/(a² + b²).
La composante réelle renvoyée est a divisé par ce module au carré, et la composante imaginaire est -b divisé par la même quantité. Prenons 3 + 4i : son module au carré est 9 + 16 = 25, donc son inverse est 3/25 - 4/25i, soit 0.12 - 0.16i. Le produit des deux nombres confirme le résultat : la partie réelle devient un et la partie imaginaire zéro.
L’affichage du module au carré rend la transformation vérifiable et aide à relier la grandeur géométrique d’un nombre complexe à la méthode algébrique qui supprime un dénominateur imaginaire.
Réutilisez précisément le résultat dans vos calculs
La sortie est prévue pour être réutilisée directement, et non seulement affichée. L’inverse facilite notamment la division complexe : multiplier le numérateur par l’inverse du dénominateur donne le quotient. Il intervient aussi dans les relations d’impédance et d’admittance, les fonctions de transfert, l’analyse du signal, les méthodes numériques itératives et les exercices sur les expressions rationnelles complexes.
Des composantes immenses peuvent faire déborder a² + b² ; des composantes non nulles extrêmement petites peuvent l’arrondir à zéro. Pour les valeurs usuelles, la suite d’opérations est fixe, sans réseau, hasard, arrondi caché ni dépendance à l’heure.
Cas d’usage
Vérifier un exercice sur les nombres complexes
Contrôlez la méthode du conjugué sur le module au carré et comparez les composantes au calcul manuel.
Préparer une division complexe
Calculez l’inverse d’un dénominateur non nul avant de le multiplier par un autre nombre complexe.
Automatiser des formules d’ingénierie
Réutilisez les champs numériques réel et imaginaire dans des calculs d’impédance, d’admittance, de signal ou de commande.
Questions fréquentes
Que renvoie le calculateur ?
Il renvoie les composantes réelle et imaginaire de l’inverse, ainsi que le module au carré qui leur sert de dénominateur.
Quelle formule est utilisée ?
Pour a + bi, il calcule (a - bi)/(a² + b²) ; les composantes valent a/(a² + b²) et -b/(a² + b²).
Pourquoi zéro est-il refusé ?
Zéro n’a pas d’inverse multiplicatif : tout nombre complexe fini multiplié par zéro reste zéro et ne donne jamais un.
Puis-je saisir une valeur telle que 3+4i ?
Non. Saisissez 3 dans le champ réel et 4 dans le champ imaginaire afin de conserver une entrée claire et exploitable par une machine.
Comment l'inverse aide-t-il à diviser des nombres complexes ?
Diviser par un nombre complexe revient à multiplier par son inverse. Calculez ici 1/z pour le dénominateur, puis multipliez le numérateur par ce résultat : vous obtenez le quotient sans dénominateur imaginaire.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
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-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imaginary":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal", {
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal", false, stream_context_create([
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"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imaginary":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imaginary":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"real": 3,
"imaginary": 4
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_reciprocal",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Réutilisez précisément le résultat dans vos calculs
Les champs réel et imaginaire alimentent un autre calcul sans analyse de chaîne, tandis que modulus_squared conserve le dénominateur commun. Les résultats utilisent des nombres JavaScript finis ordinaires et respectent la précision flottante IEEE-754. Ces cas sont refusés plutôt que de produire l’infini ou une valeur trompeuse que JSON ne saurait représenter fidèlement.
Questions techniques
Quel est le prix d’une requête API ?
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