Recíproco de un número complejo
El recíproco de 3 + 4i es 3/25 − (4/25)i, porque su módulo al cuadrado es 25: indique las partes real e imaginaria y obtenga 1/z en forma binómica, listo para dividir complejos. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Parte real
- 3
- Parte imaginaria
- 4
- Parte real
- 0,12
- Parte imaginaria
- -0,16
- Módulo al cuadrado
- 25
Esta calculadora obtiene el inverso multiplicativo de un número complejo escrito mediante una parte real y otra imaginaria. Introduzca los dos componentes de a + bi y recibirá las partes real e imaginaria de 1/(a + bi), junto con el módulo al cuadrado utilizado como denominador. El cálculo es determinista, conserva la forma rectangular y rechaza el cero porque carece de recíproco. Resulta útil para comprobar álgebra, preparar divisiones complejas e incorporar operaciones repetibles en programas.
Convierta un número complejo en su recíproco
El recíproco es el número que, al multiplicarse por el valor original, produce uno. Para un número real basta con dividir uno entre dicho número. Un denominador complejo requiere un paso algebraico adicional, pues contiene componentes real e imaginario.
Indique ambas partes por separado; por ejemplo, para 3 + 4i introduzca 3 como parte real y 4 como imaginaria. La calculadora devuelve el recíproco con la misma estructura de dos componentes, lista para código u operaciones posteriores. También muestra el módulo al cuadrado, a² + b², para que usted pueda revisar el denominador empleado.
No interpreta expresiones formateadas, lo que evita ambigüedades de signos, espacios o símbolos de la unidad imaginaria. Las dos entradas deben ser números finitos. El único valor complejo excluido es 0 + 0i: su recíproco no está definido, ya que ningún número multiplicado por cero puede dar uno.
Por qué el conjugado permite efectuar la división
Si z = a + bi, su conjugado es a - bi. Al multiplicar z por el conjugado se cancelan los términos imaginarios cruzados y se obtiene a² + b², el módulo al cuadrado, siempre positivo cuando el número complejo no es cero. Por tanto, 1/z equivale a (a - bi)/(a² + b²).
La parte real devuelta es a dividida entre ese módulo al cuadrado, mientras que la parte imaginaria es -b dividida entre el mismo valor. Para 3 + 4i, el módulo al cuadrado vale 9 + 16 = 25; el recíproco es 3/25 - 4/25i, es decir, 0.12 - 0.16i. Multiplicar ambos números complejos confirma el resultado: la parte real se convierte en uno y la imaginaria en cero.
Mostrar el módulo al cuadrado hace auditable la transformación y relaciona la magnitud geométrica con la técnica algebraica que elimina un denominador imaginario.
Use el resultado con precisión en operaciones posteriores
La salida está pensada para reutilizarse directamente, no solo para mostrar matemáticas. El recíproco simplifica la división compleja: multiplicar el numerador por el recíproco del denominador produce el cociente. También aparece en relaciones de impedancia y admitancia, funciones de transferencia, análisis de señales, métodos numéricos iterativos y ejercicios con expresiones racionales complejas.
Para valores habituales, la operación sigue una secuencia fija, sin red, azar, redondeo oculto ni dependencia de la hora actual.
Qué puede hacer con ella
Compruebe ejercicios de números complejos
Verifique el método del conjugado sobre el módulo al cuadrado y compare los componentes con su cálculo manual.
Prepare una división compleja
Calcule el inverso de un denominador no nulo antes de multiplicarlo por otro número complejo.
Automatice fórmulas de ingeniería
Reutilice campos numéricos reales e imaginarios en cálculos de impedancia, admitancia, señales o control.
Preguntas frecuentes
¿Qué devuelve la calculadora?
Devuelve las partes real e imaginaria del recíproco y el módulo al cuadrado usado como denominador.
¿Qué fórmula utiliza?
Para a + bi calcula (a - bi)/(a² + b²); los componentes son a/(a² + b²) y -b/(a² + b²).
¿Por qué se rechaza el cero?
El cero no tiene inverso multiplicativo: cualquier número complejo finito multiplicado por cero sigue siendo cero, nunca uno.
¿Puedo introducir un valor formateado como 3+4i?
No. Introduzca 3 en el campo real y 4 en el imaginario para conservar una entrada inequívoca y legible por máquinas.
¿Cómo ayuda el recíproco a dividir números complejos?
Dividir entre un número complejo equivale a multiplicar por su recíproco. Calcule aquí 1/z para el denominador y multiplique el numerador por él: obtendrá el cociente sin lidiar con un denominador imaginario.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imaginary":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal", false, stream_context_create([
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"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imaginary":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"real": 3,
"imaginary": 4
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_reciprocal",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Use el resultado con precisión en operaciones posteriores
Sus campos real e imaginario alimentan otros cálculos sin analizar una cadena, y modulus_squared registra el denominador común. Los resultados emplean números finitos normales de JavaScript y siguen la precisión de coma flotante IEEE-754. Componentes enormes pueden desbordar a² + b², mientras que componentes no nulos extremadamente pequeños pueden reducirlo a cero; se rechazan esos casos en vez de devolver infinito o un resultado engañoso que JSON no representa fielmente.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta una solicitud API?
Cada solicitud API cuesta $0.002. La calculadora del navegador es gratuita en esta página.