Kehrwert einer komplexen Zahl berechnen
Der Kehrwert von 3 + 4i ist 3/25 − (4/25)i, denn sein Betragsquadrat ist 25: Geben Sie Real- und Imaginärteil ein und erhalten Sie 1/z in Normalform, bereit für die Division komplexer Zahlen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Realteil
- 3
- Imaginärteil
- 4
- Realteil
- 0,12
- Imaginärteil
- -0,16
- Betragsquadrat
- 25
Dieser Rechner bestimmt das multiplikative Inverse einer komplexen Zahl, die durch Real- und Imaginärteil angegeben wird. Geben Sie beide Komponenten von a + bi ein; ausgegeben werden die Komponenten von 1/(a + bi) und das als Nenner verwendete Betragsquadrat. Die Berechnung ist deterministisch, behält die Normalform bei und weist null zurück, da null keinen Kehrwert besitzt. So können Sie Algebraaufgaben prüfen, komplexe Divisionen vorbereiten und reproduzierbare Berechnungen in Software einbauen.
Ermitteln Sie den Kehrwert einer komplexen Zahl
Der Kehrwert ist diejenige Zahl, deren Produkt mit dem Ausgangswert eins ergibt. Bei einer reellen Zahl teilen Sie dazu eins durch diese Zahl. Ein komplexer Nenner erfordert einen weiteren algebraischen Schritt, weil er aus einem Real- und einem Imaginärteil besteht.
Geben Sie beide Teile getrennt an: Für 3 + 4i tragen Sie 3 als Realteil und 4 als Imaginärteil ein. Der Rechner liefert den Kehrwert in derselben zweiteiligen Struktur zurück, sodass Sie ihn unmittelbar in Programmcode oder weiteren Rechnungen verwenden können. Zusätzlich wird das Betragsquadrat a² + b² angezeigt, damit Sie den verwendeten Nenner nachvollziehen können.
Formatierte Ausdrücke werden nicht geparst; dadurch entfallen Mehrdeutigkeiten bei Vorzeichen, Leerzeichen oder dem Symbol der imaginären Einheit. Beide Eingaben müssen endliche Zahlen sein. Ausgeschlossen ist allein 0 + 0i, dessen Kehrwert nicht definiert ist, weil keine mit null multiplizierte Zahl eins ergeben kann.
Weshalb die konjugierte Zahl die Division ermöglicht
Für z = a + bi lautet die konjugierte Zahl a - bi. Wird z mit ihr multipliziert, heben sich die gemischten imaginären Terme auf; übrig bleibt a² + b². Dieses Betragsquadrat ist für jede komplexe Zahl ungleich null positiv.
Daher gilt 1/z = (a - bi)/(a² + b²). Der ausgegebene Realteil ist a geteilt durch das Betragsquadrat, der Imaginärteil ist -b geteilt durch denselben Wert. Bei 3 + 4i beträgt das Betragsquadrat 9 + 16 = 25.
Der Kehrwert ist somit 3/25 - 4/25i beziehungsweise 0.12 - 0.16i. Das Produkt beider komplexen Zahlen bestätigt das Ergebnis: Der Realteil wird eins, der Imaginärteil null. Das mitgelieferte Betragsquadrat macht die Umformung überprüfbar und verknüpft die geometrische Größe einer komplexen Zahl mit dem algebraischen Verfahren zur Beseitigung eines imaginären Nenners.
Verwenden Sie das Ergebnis präzise weiter
Die Ausgabe ist für die direkte Weiterverarbeitung und nicht nur zur Anzeige gedacht. Besonders nützlich ist der Kehrwert bei der komplexen Division: Multiplizieren Sie den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners, erhalten Sie den Quotienten. Das Verfahren tritt außerdem bei Impedanz und Admittanz, Übertragungsfunktionen, Signalanalyse, iterativen numerischen Methoden und Aufgaben zu komplexen rationalen Ausdrücken auf.
Sehr große Komponenten können a² + b² überlaufen lassen; extrem kleine, aber von null verschiedene Komponenten können den Wert auf null unterlaufen lassen. Bei üblichen Werten läuft eine feste Operationsfolge ohne Netzwerk, Zufall, verborgene Rundung oder Zeitabhängigkeit ab.
Anwendungsfälle
Aufgaben zu komplexen Zahlen prüfen
Prüfen Sie das Verfahren mit konjugierter Zahl und Betragsquadrat gegen Ihre Rechnung von Hand.
Eine komplexe Division vorbereiten
Berechnen Sie das Inverse eines von null verschiedenen Nenners, bevor Sie es mit einer weiteren komplexen Zahl multiplizieren.
Technische Formeln automatisieren
Nutzen Sie numerische Real- und Imaginärfelder in Berechnungen zu Impedanz, Admittanz, Signalen oder Regelungstechnik weiter.
Häufige Fragen
Was gibt der Rechner aus?
Er liefert Real- und Imaginärteil des Kehrwerts sowie das Betragsquadrat, das als Nenner dient.
Welche Formel wird verwendet?
Für a + bi wird (a - bi)/(a² + b²) berechnet; die Komponenten lauten a/(a² + b²) und -b/(a² + b²).
Warum wird null zurückgewiesen?
Null besitzt kein multiplikatives Inverses: Jede endliche komplexe Zahl ergibt mit null multipliziert weiterhin null und niemals eins.
Kann ich einen Ausdruck wie 3+4i eingeben?
Nein. Geben Sie 3 im Feld für den Realteil und 4 im Feld für den Imaginärteil ein, damit die Eingabe eindeutig und maschinenlesbar bleibt.
Wie hilft der Kehrwert beim Dividieren komplexer Zahlen?
Durch eine komplexe Zahl zu teilen heißt, mit ihrem Kehrwert zu multiplizieren. Bestimmen Sie hier 1/z für den Nenner und multiplizieren Sie den Zähler damit, so erhalten Sie den Quotienten ohne imaginären Nenner.
Wie kann ich das Ergebnis prüfen?
Multiplizieren Sie den Kehrwert mit der ursprünglichen Zahl: Es muss 1 herauskommen, also Realteil eins und Imaginärteil null. Bei 3 + 4i und 3/25 − (4/25)i geht die Rechnung genau auf.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
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Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imaginary":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imaginary": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imaginary": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imaginary":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imaginary":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-reciprocal", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"real": 3,
"imaginary": 4
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_reciprocal",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Verwenden Sie das Ergebnis präzise weiter
Real- und Imaginärfeld lassen sich ohne Textanalyse in eine weitere Rechnung übernehmen; modulus_squared hält den gemeinsamen Nenner fest. Die Ergebnisse verwenden gewöhnliche endliche JavaScript-Zahlen und folgen der IEEE-754-Gleitkommagenauigkeit. Solche Fälle werden zurückgewiesen, statt unendlich oder ein irreführendes, in JSON nicht zuverlässig darstellbares Ergebnis auszugeben.
Technische Fragen
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Jede API-Anfrage kostet $0.002. Der Rechner im Browser kann auf dieser Seite kostenlos genutzt werden.